Восьмеричное и шестнадцатеричное исчисление

Поскольку для двоичной системы счисления требуется очень много битов для представления относительно небольших чисел по сравнению с экономией десятичной системы, анализ числовых состояний внутри цифровых электронных схем может быть утомительной задачей.

Компьютерные программисты, создающие последовательности числовых кодов, инструктирующих компьютер, что делать, столкнулись бы с очень сложной задачей, если бы им пришлось работать только с длинными строками из единиц и нулей, «родным языком» любой цифровой схемы.

Чтобы инженерам, техническим специалистам и программистам было легче «разговаривать» на этом языке цифрового мира, были созданы другие системы счисления, взвешенные по местам, которые очень легко преобразовывать в двоичные и обратно.

Одна из таких систем счисления называется восьмеричной . , потому что это система с позиционным взвешиванием с основанием восемь. Допустимые шифры включают символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Вес каждого места отличается от следующего в восемь раз.

Другая система называется шестнадцатеричной . , потому что это система с позиционным взвешиванием с базой из шестнадцати.

Допустимые шифры включают обычные десятичные символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также шесть буквенных символов A, B, C, D, E и F, чтобы в сумме шестнадцать.

Как вы уже могли догадаться, вес каждого места отличается от предыдущего в шестнадцать раз.

Давайте снова посчитаем от нуля до двадцати, используя десятичную, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы, чтобы сопоставить эти системы счисления:

 Число Десятичное Двоичное Восьмеричное Шестнадцатеричное ------ ------- ------- ----- ----------- Ноль 0 0 0 0 Один 1 1 1 1 Два 2 10 2 2 Три 3 11 3 3 Четыре 4 100 4 4 Пять 5 101 5 5 Шесть 6 110 6 6 Семь 7 111 7 7 Восемь 8 1000 10 8 Девять 9 1001 11 9 Тен 10 10 10 12 А Одиннадцать 11 1011 13 B Двенадцать 12 1100 14 C Тринадцать 13 1101 15 D Четырнадцать 14 1110 16 E Пятнадцать 15 1111 17 F Шестнадцать 16 10000 20 10 Семнадцать 17 10001 21 11 Восемнадцать 18 10010 22 12 Девятнадцать 19 10011 23 13 Двадцать 20 10100 24 14 

Восьмеричные и шестнадцатеричные системы счисления были бы бессмысленны, если бы не их способность легко преобразовываться в двоичную систему счисления и обратно. Их основная цель - служить в качестве «сокращенного» метода обозначения чисел, представленных в электронном виде в двоичной форме.

Поскольку основания восьмеричного (восемь) и шестнадцатиричного (шестнадцати) числа даже кратны двоичному основанию (два), двоичные биты могут быть сгруппированы вместе и напрямую преобразованы в соответствующие восьмеричные или шестнадцатеричные числа или наоборот. В восьмеричной системе двоичные биты группируются по три (потому что 2 ³ =8), а в шестнадцатеричной системе двоичные биты сгруппированы по четыре (потому что 2 ⁴ =16):

Двоичное преобразование в восьмеричное

 Двоичное преобразование в восьмеричное Конвертировать 10110111,1  2  в восьмеричный:. . подразумеваемый ноль подразумеваемые нули . | || . 010 110 111 100 Преобразуйте каждую группу битов ### ### ###. ### в восьмеричном эквиваленте:2 6 7 4 . Ответ:10110111.1  2  =267,4  8  

Нам пришлось сгруппировать биты по три, начиная с двоичной точки слева и с двоичной точки справа, добавляя (подразумеваемые) нули по мере необходимости для создания полных 3-битных групп. Каждая восьмеричная цифра была переведена из 3-битных двоичных групп.

Преобразование двоичного числа в шестнадцатеричное

Преобразование двоичного числа в шестнадцатеричное происходит примерно так же:

 Двоичное преобразование в шестнадцатеричное. Конвертировать 10110111,1  2  в шестнадцатеричный:. . подразумеваемые нули . ||| . 1011 0111 1000 Преобразуйте каждую группу битов ---- ----. ---- в его шестнадцатеричный эквивалент:B 7 8 . Ответ:10110111.1  2  =B7.8  16  

Здесь нам пришлось сгруппировать биты по четыре, начиная с двоичной точки слева и с двоичной точки справа, добавляя (подразумеваемые) нули по мере необходимости для создания полных 4-битных групп:

Аналогичным образом преобразование восьмеричной или шестнадцатеричной системы в двоичную осуществляется путем преобразования каждой восьмеричной или шестнадцатеричной цифры в ее эквивалентную двоичную (3- или 4-битную) группу с последующим объединением всех двоичных групп битов.

Между прочим, шестнадцатеричное представление более популярно, потому что двоичные битовые группы в цифровом оборудовании обычно кратны восьми (8, 16, 32, 64 и 128 бит), которые также кратны 4. Восьмеричный, основанный на двоичных битовых группах 3, не работает равномерно с такими общими размерами группы битов.

СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ТАБЛИЦЫ:

• Рабочий лист систем счисления