Освоение собственных значений и собственных векторов в MATLAB:практическое руководство

Собственные значения и собственные векторы — фундаментальные понятия линейной алгебры, широко используемые в различных областях, включая физику, технику и анализ данных. В MATLAB эти концепции можно легко исследовать и вычислять.

Что такое собственные значения?

Собственное значение — это скаляр, обозначаемый как (лямбда), связанный с линейным преобразованием векторного пространства. Он представляет собой коэффициент масштабирования соответствующего собственного вектора во время преобразования.

Что такое собственные векторы?

Собственный вектор — это ненулевой вектор, который изменяется только на скалярный коэффициент, когда к нему применяется линейное преобразование. Другими словами, если A — матрица, v — собственный вектор A, соответствующий собственному значению, если —

Ав=v

Здесь A — квадратная матрица, v — собственный вектор и собственное значение.

Функции MATLAB

MATLAB предоставляет встроенные функции для вычисления собственных значений и собственных векторов.

Использование восьми

Эта функция вычисляет собственные значения и собственные векторы матрицы.

Синтаксис

e = eig(A)
[V,D] = eig(A)
[V,D,W] = eig(A)
e = eig(A,B)
[V,D] = eig(A,B)
[V,D,W] = eig(A,B)
[___] = eig(A,balanceOption)
[___] = eig(A,B,algorithm)
[___] = eig(___,outputForm)

Пояснение синтаксиса

e =eig(A) возвращает вектор-столбец с собственными значениями квадратной матрицы A.

[V,D] =eig(A) возвращает диагональную матрицу D с собственными значениями A и матрицу V, столбцы которой являются соответствующими собственными векторами. Это означает, что умножение A на V аналогично умножению V на D.

[V,D,W] =eig(A) также возвращает полную матрицу W, столбцы которой являются соответствующими левыми собственными векторами. Это означает, что умножение транспонирования W на A аналогично умножению D на транспонирование W.

Проблема собственных значений заключается в поиске решений уравнения Av =v, где A — квадратная матрица, v — вектор-столбец и — скаляр. Значения, удовлетворяющие этому уравнению, являются собственными значениями, а значения v, удовлетворяющие этому уравнению, являются правыми собственными векторами. Левые собственные векторы w удовлетворяют уравнению w'A =w'.

e =eig(A,B) возвращает вектор-столбец с обобщенными собственными значениями квадратных матриц A и B.

[V,D] =eig(A,B) возвращает диагональную матрицу D с обобщенными собственными значениями и полную матрицу V, столбцы которой являются соответствующими правыми собственными векторами. Это означает, что умножение A на V аналогично умножению B, V и D вместе.

[V,D,W] =eig(A,B) также возвращает полную матрицу W, столбцы которой являются соответствующими левыми собственными векторами. Это означает, что умножение транспонирования W на A аналогично умножению D, транспонирования W и B.

Обобщенная проблема собственных значений заключается в поиске решений уравнения Av =Bv, где A и B — квадратные матрицы, v — вектор-столбец и скаляр. Значения, удовлетворяющие этому уравнению, являются обобщенными собственными значениями, а значения v — соответствующими правыми собственными векторами. Левые собственные векторы w удовлетворяют уравнению w'A =w'B.

[___] =eig(A, BalanceOption), где BalanceOption — «nobalance», отключает этап предварительной балансировки в алгоритме. По умолчанию для параметра BalanceOption установлено значение «баланс», что включает балансировку. Функция eig может возвращать любой из выходных аргументов, упомянутых в предыдущих примерах.

[___] =eig(A,B,algorithm), где алгоритм «chol», использует факторизацию Холецкого B для вычисления обобщенных собственных значений. Алгоритм по умолчанию зависит от свойств A и B, но это «qz» (алгоритм QZ), когда A или B несимметричны.

[___] =eig(___,outputForm) возвращает собственные значения в формате, заданном выходной формой, используя любой из входных или выходных аргументов, упомянутых ранее. Установите для параметра outputForm значение «вектор», чтобы получить собственные значения в виде вектора-столбца, или значение «матрица», чтобы получить их в виде диагональной матрицы.

Примеры функции Matlab eig()

Вот несколько примеров, иллюстрирующих, как его использовать –

Пример 1:Чтобы вычислить собственные значения, используя e =eig(A)

В MATLAB вы можете найти собственные значения матрицы A, используя функцию eig. Рассмотрим следующий код –

% Define the matrix A
A = [1, 2, 3;
 4, 5, 6;
 7, 8, 9];
% Compute the eigenvalues
e = eig(A)

В приведенном выше примере —

• Матрица A определяется как матрица 3x3 с указанными элементами.
• Функция eig(A) вычисляет собственные значения матрицы A.
• Результат eig(A) сохраняется в переменной e, которая представляет собой вектор-столбец, содержащий собственные значения A.

Когда код вычислен, мы получаем следующий результат:

>> % Define the matrix A
A = [1, 2, 3;
 4, 5, 6;
 7, 8, 9];
% Compute the eigenvalues
e = eig(A)
e =
 16.1168
 -1.1168
 -0.0000

Пример 2. Чтобы получить собственные значения и собственные векторы, используйте [V,D] =eig(A)

В MATLAB вы можете найти собственные значения и собственные векторы матрицы A, используя функцию eig.

Рассмотрим следующий код –

% Define the matrix A
A = [2, -1;
 4, 3];
% Compute the eigenvalues and eigenvectors
[V, D] = eig(A);
% Display the eigenvalues
disp('Eigenvalues:');
disp(D);
% Display the eigenvectors
disp('Eigenvectors:');
disp(V);

В приведенном выше коде мы имеем —

• Матрица A определяется как матрица 2x2 с указанными элементами.
• Функция [V, D] =eig(A) вычисляет как собственные значения (D), так и соответствующие собственные векторы (V) матрицы A.
• D — диагональная матрица, содержащая собственные значения матрицы A.
• V — матрица, столбцы которой являются соответствующими собственными векторами.

Когда код выполняется, мы получаем следующий результат:

>> % Define the matrix A
A = [2, -1;
 4, 3];
% Compute the eigenvalues and eigenvectors
[V, D] = eig(A);
% Display the eigenvalues
disp('Eigenvalues:');
disp(D);
% Display the eigenvectors
disp('Eigenvectors:');
disp(V);
Eigenvalues:
 2.5000 + 1.9365i 0.0000 + 0.0000i
 0.0000 + 0.0000i 2.5000 - 1.9365i
Eigenvectors:
 -0.1118 + 0.4330i -0.1118 - 0.4330i
 0.8944 + 0.0000i 0.8944 + 0.0000i