Понимание сигналов прямоугольной формы: основы и применения
Установлено, что любая повторяющаяся несинусоидальная форма волны может быть приравнена к комбинации напряжения постоянного тока, синусоид и/или косинусоид (синусоид со сдвигом фазы 90 градусов) различных амплитуд и частот.
Это верно независимо от того, насколько странной или запутанной может быть форма волны. Достаточно, чтобы она регулярно повторялась во времени — она сводится к этому ряду синусоидальных волн.
В частности, установлено, что прямоугольные волны математически эквивалентны сумме синусоиды на той же частоте плюс бесконечный ряд синусоид нечётных кратных частот с убывающей амплитудой:
Эта истина о формах волн на первый взгляд может показаться слишком странной, чтобы верить. Однако, если прямоугольная волна на самом деле является бесконечным рядом гармоник синусоиды, сложенных вместе, логично предположить, что мы должны иметь возможность доказать это, складывая несколько гармоник синусоиды для получения близкого приближения к прямоугольной волне.
Это рассуждение не только верно, но и легко демонстрируется с помощью SPICE.
Схема, которую мы будем моделировать — не что иное, как несколько источников синусоидального напряжения переменного тока с нужными амплитудами и частотами, соединённых в последовательность. Будем использовать SPICE для построения форм волн напряжения при последовательном добавлении источников:
Прямоугольная волна приближается суммой гармоник.
В данной симуляции SPICE я сложил 1-ю, 3-ю, 5-ю, 7-ю и 9-ю гармоники источников напряжения в последовательности, всего пять источников переменного тока. Фундаментальная частота — 50 Гц, и каждая гармоника, конечно, целый кратный этой частоты.
Значения амплитуд (напряжения) не случайны; они получены из уравнений, показанных в частотном ряде (дробь 4/π, умноженная на 1, 1/3, 1/5, 1/7 и т.д. для каждой возрастающей нечётной гармоники).
building a squarewave v1 1 0 sin (0 1.27324 50 0 0) 1st harmonic (50 Hz) v3 2 1 sin (0 424.413m 150 0 0) 3rd harmonic v5 3 2 sin (0 254.648m 250 0 0) 5th harmonic v7 4 3 sin (0 181.891m 350 0 0) 7th harmonic v9 5 4 sin (0 141.471m 450 0 0) 9th harmonic r1 5 0 10k .tran 1m 20m .plot tran v(1,0) Plot 1st harmonic .plot tran v(2,0) Plot 1st + 3rd harmonics .plot tran v(3,0) Plot 1st + 3rd + 5th harmonics .plot tran v(4,0) Plot 1st + 3rd + 5th + 7th harmonics .plot tran v(5,0) Plot 1st + ... + 9th harmonics .end
Пошагово пройдёмся по анализу. На первом графике — фундаментальная синусоида 50 Гц. Это чистая синусоида без гармоник — волна, производимая идеальным источником переменного тока:
Чистая синусоида 50 Гц.
Далее — добавление третьей гармоники (трижды 50 Гц, или 150 Гц). Внезапно это уже не выглядит как чистая синусоида:
Сумма 1-й (50 Гц) и 3-й (150 Гц) гармоник приближает прямоугольную волну 50 Гц.
Переходы между положительным и отрицательным полуциклами становятся намного круче, вершины волны ближе к плоским, как у прямоугольной. Смотрим, что происходит при добавке следующей нечётной гармоники:
Сумма 1-й, 3-й и 5-й гармоник приближает прямоугольную волну.
Самое заметное изменение — вершины волны стали ещё плоскими. Есть несколько впадин и пиков на каждом конце волны, но их амплитуда меньше, чем раньше. Снова добавляем следующую нечётную гармонику:
Сумма 1-й, 3-й, 5-й и 7-й гармоник приближает прямоугольную волну.
Здесь видно, что волна становится плоской на каждом пике. Наконец, добавляя 9-ю гармонику, пятый источник напряжения в нашей цепи, получаем:
Сумма 1-й, 3-й, 5-й, 7-й и 9-й гармоник приближает прямоугольную волну.
Итог сложения первых пяти нечётных гармоник (всех с правильными амплитудами) — близкое приближение к прямоугольной волне. Смысл этого — показать, как можно построить прямоугольную волну из множества синусоид разных частот, доказав, что чистая прямоугольная волна эквивалентна ряду синусоид.
Когда прямоугольное напряжение переменного тока приложено к цепи с реактивными компонентами (конденсаторами и катушками), те реагируют так, будто к ним приложено несколько синусоидальных напряжений разных частот, что фактически и есть.
SPICE умеет дискретизировать волну и редуцировать её в составляющие синусоидальные гармоники через алгоритм Преобразования Фурье, выводя частотный анализ как таблицу чисел. Попробуем это на прямоугольной волне, которую мы уже знаем как составленную из нечётных гармоник синусоид:
squarewave analysis netlist v1 1 0 pulse (-1 1 0 .1m .1m 10m 20m) r1 1 0 10k .tran 1m 40m .plot tran v(1,0) .four 50 v(1,0) .end
Опция pulse в строке нетлиста, описывающей источник напряжения v1, указывает SPICE смоделировать прямоугольный «пульс», в данном случае симметричный (равное время для каждой полуволны) с пиковой амплитудой 1 вольт. Сначала построим прямоугольную волну для анализа:
Прямоугольная волна для анализа Фурье в SPICE
Далее, выведем анализ Фурье, сгенерированный SPICE для этой прямоугольной волны:
fourier components of transient response v(1) dc component = -2.439E-02 harmonic frequency fourier normalized phase normalized no (hz) component component (deg) phase (deg) 1 5.000E+01 1.274E+00 1.000000 -2.195 0.000 2 1.000E+02 4.892E-02 0.038415 -94.390 -92.195 3 1.500E+02 4.253E-01 0.333987 -6.585 -4.390 4 2.000E+02 4.936E-02 0.038757 -98.780 -96.585 5 2.500E+02 2.562E-01 0.201179 -10.976 -8.780 6 3.000E+02 5.010E-02 0.039337 -103.171 -100.976 7 3.500E+02 1.841E-01 0.144549 -15.366 -13.171 8 4.000E+02 5.116E-02 0.040175 -107.561 -105.366 9 4.500E+02 1.443E-01 0.113316 -19.756 -17.561 total harmonic distortion = 43.805747 percent
График результатов анализа Фурье.
Здесь (рисунок выше) SPICE разложил волну в спектр синусоидальных частот до девятой гармоники плюс небольшое постоянное напряжение, помеченное DC component.
Я должен был сообщить SPICE фундаментальную частоту (для прямоугольной волны с периодом 20 мс это 50 Гц), чтобы он знал, как классифицировать гармоники. Обратите внимание, как малы значения для всех чётных гармоник (2-я, 4-я, 6-я, 8-я), и как амплитуды нечётных гармоник убывают (1-я наибольшая, 9-я наименьшая).
Та же техника «Преобразования Фурье» часто используется в компьютерной силовой инструментации, дискретизирующей волны переменного тока и определяющей их гармонический состав. Общий компьютерный алгоритм (последовательность шагов программы для выполнения задачи) для этого — Быстрое преобразование Фурье (Fast Fourier Transform, FFT).
Вам не нужно знать, как именно работают эти компьютерные процедуры, но полезно знать о их существовании и применении.
Эта же математическая техника, используемая в SPICE для анализа гармонического содержания волн, применяется к техническому анализу музыки: разбивке любого звука на составляющие синусоидальные частоты.
Фактически, вы, возможно, уже видели устройство, созданное именно для этого, не осознавая, что это! Графический эквалайзер — высококачественное стереооборудование, управляющее (иногда отображающее) гармоническое содержание музыки.
Оснащённый несколькими ручками или ползунками, эквалайзер позволяет селективно ослаблять (уменьшать) амплитуду определённых частот в музыке, чтобы «подстроить» звук под слушателя. Обычно рядом с каждым ползунком есть «столбчатый график», отображающий амплитуду каждой конкретной частоты.
Hi-Fi аудио графический эквалайзер.
Устройство, созданное строго для отображения — не управления — амплитуд каждого частотного диапазона смешанночастотного сигнала, обычно называется спектральный анализатор (spectrum analyzer).
Конструкция спектральных анализаторов может быть простой — набор «фильтров» (см. следующую главу для деталей), разделяющих разные частоты, или сложной — специализированный цифровой компьютер, запускающий FFT-алгоритм для математического разделения сигнала на гармонические компоненты.
Спектральные анализаторы часто проектируются для анализа сверхвысокочастотных сигналов, таких как от радиопередатчиков и сетевого оборудования. В таком виде они часто выглядят как осциллограф:
Спектральный анализатор показывает амплитуду как функцию частоты.
Как осциллограф, спектральный анализатор использует ЭЛТ (или компьютерный дисплей, имитирующий ЭЛТ) для отображения графика сигнала.
В отличие от осциллографа, этот график — амплитуда по частоте, а не по времени. По сути, частотный анализатор даёт оператору график Боде сигнала: то, что инженер может назвать частотно-областным (frequency-domain) анализом вместо временно-областного (time-domain).
Термин «область» (domain) математечен: изощрённое слово для описания горизонтальной оси графика. Таким образом, график осциллографа амплитуды (вертикаль) по времени (горизонталь) — «временно-областной» анализ, тогда как график спектрального анализатора амплитуды (вертикаль) по частоте (горизонталь) — «частотно-областной» анализ.
Когда мы используем SPICE для построения амплитуды сигнала (напряжения или тока) по диапазону частот, мы выполняем частотно-областной анализ.
Обратите внимание, как анализ Фурье из последней симуляции SPICE не является «идеальным». В идеале амплитуды всех чётных гармоник должны быть абсолютно нулевыми, и так же DC-компонента. Опять же, это не столько особенность SPICE, сколько свойство волн в целом.
Волна бесконечной длительности (бесконечное число циклов) может быть проанализирована с абсолютной точностью, но чем меньше циклов доступно компьютеру для анализа, тем менее точен анализ. Только когда у нас есть уравнение, описывающее волну во всей её полноте, анализ Фурье может свести её к определённому ряду синусоидальных волн.
Чем меньше раз волна циклится, тем менее определённа её частота. Уводя эту концепцию до логического предела, короткий импульс — волна, не завершающая даже один цикл — фактически не имеет частоты, а действует как бесконечный диапазон частот. Этот принцип обобщён на все волновые явления, не только переменные напряжения и токи.
Достаточно сказать, что число циклов и определённость частотных компонентов волны напрямую связаны.
Мы могли бы улучшить точность анализа, дав волне осциллировать долго, на много циклов, и результат был бы спектральным анализом, более согласованным с идеалом. В следующем анализе я опустил график волны для краткости — это просто очень длинная прямоугольная волна:
square wave v1 1 0 pulse (-1 1 0 .1m .1m 10m 20m) r1 1 0 10k .option limpts=1001 .tran 1m 1 .plot tran v(1,0) .four 50 v(1,0) .end fourier components of transient response v(1) dc component = 9.999E-03 harmonic frequency fourier normalized phase normalized no (hz) component component (deg) phase (deg) 1 5.000E+01 1.273E+00 1.000000 -1.800 0.000 2 1.000E+02 1.999E-02 0.015704 86.382 88.182 3 1.500E+02 4.238E-01 0.332897 -5.400 -3.600 4 2.000E+02 1.997E-02 0.015688 82.764 84.564 5 2.500E+02 2.536E-01 0.199215 -9.000 -7.200 6 3.000E+02 1.994E-02 0.015663 79.146 80.946 7 3.500E+02 1.804E-01 0.141737 -12.600 -10.800 8 4.000E+02 1.989E-02 0.015627 75.529 77.329 9 4.500E+02 1.396E-01 0.109662 -16.199 -14.399
Улучшенный анализ Фурье.
Обратите внимание, как этот анализ (рисунок выше) показывает меньше DC-компоненты и меньшие амплитуды для каждой чётной гармоники, всё потому, что мы позволили компьютеру засемплировать больше циклов волны. Снова, неточность первого анализа — не столько дефект SPICE, сколько фундаментальное свойство волн и сигнального анализа.
ОБЗОР:
- Прямоугольные волны эквивалентны синусоиде на той же (фундаментальной) частоте, сложенной с бесконечным рядом нечётных кратных синусоидальных гармоник убывающих амплитуд.
- Существуют компьютерные алгоритмы, способные дискретизировать формы волн и определять их синусоидальные составляющие. Алгоритм Преобразования Фурье (в частности, Быстрое преобразование Фурье, или FFT) широко используется в программах компьютерной симуляции цепей, таких как SPICE, и в электронных измерительных приборах для определения качества энергии.
СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ЛИСТЫ:
- Рабочий лист: Сигналы прямоугольной формы
Промышленные технологии
- Эффективное межзадачное взаимодействие с Nucleus SE Signals
- Искусственные нейронные сети повышают производительность беспроводной связи
- Квантовая схема детектирует слабейшие радиосигналы — отдельные фотоны
- Алгоритм портаменто в реальном времени бесшовно объединяет любые два аудиосигнала
- Компьютер на ДНК извлекает квадратные корни до 900 — прорыв в молекулярных вычислениях
- Новая волна DTC-стартапов готовится к революции в ритейле
- Ключевые принципы проектирования RF и СВЧ печатных плат для надежной работы
- Волновая пайка против рефлоу-пайки: ключевые различия и как выбрать правильный процесс
- Экспертное руководство: устранение проблем с волновой пайкой на печатных платах
- Является ли 3D-экструзия металла будущим аддитивного производства?