Теорема о суперпозиции - анализ цепей с решенным примером

Теорема о суперпозиции. Пошаговое руководство с примером решения

Что такое теорема суперпозиции?

Теорема о суперпозиции используется для решения сложных сетей с несколькими источниками энергии. Важной идеей является определение напряжения и тока на элементах путем расчета влияния каждого источника в отдельности. И объедините влияние всех источников, чтобы получить фактическое напряжение и ток элемента схемы.

Теорема о суперпозиции утверждает, что

Другими словами, мы будем рассматривать только один независимый источник, действующий одновременно. Итак, нам нужно удалить другие источники. Источники напряжения закорочены, а источники тока разомкнуты для идеальных источников. Если указано внутреннее сопротивление источников, нужно учитывать схему.

Теорема о суперпозиции применяется только к цепи, которая подчиняется закону Ома.

• Публикация по теме:Теорема Тевенина. Пошаговое руководство с примером решения

Когда использовать теорему о суперпозиции?

Для применения теоремы суперпозиции сеть должна соответствовать приведенным ниже требованиям.

• Компоненты, используемые в схеме, должны быть линейными. Это означает, что для резисторов ток пропорционален напряжению; для катушек индуктивности потокосцепление пропорционально току. Следовательно, резистор, катушка индуктивности и конденсатор являются линейными элементами. Но диод, транзистор - это не линейный элемент.
• Компоненты схемы должны быть двусторонними элементами. Это означает, что величина тока не зависит от полярности источников энергии.
• С помощью теоремы о суперпозиции мы можем найти ток, проходящий через элемент, падение напряжения на сопротивлении и напряжение в узле. Но мы не можем найти мощность, рассеиваемую элементом.

• Публикация по теме:Теорема Нортона. Пошаговое руководство с примером решения

Шаги для теоремы о суперпозиции

Шаг 1 Найдите ряд независимых источников, доступных в сети.

Шаг 2 Выберите любой один источник и устраните все остальные источники. Если сеть состоит из какого-либо зависимого источника, вы не можете его исключить. Он остается неизменным на протяжении всего расчета.

Если вы считаете, что все источники энергии являются идеальными источниками, вам не нужно учитывать внутреннее сопротивление. И непосредственно источник напряжения короткого замыкания и источник тока холостого хода. Но в случае, если указано внутреннее сопротивление источников, необходимо заменить внутреннее сопротивление.

Шаг 3 Теперь в цепи присутствует только один независимый источник энергии. Вам нужно найти отклик только с одним источником энергии в цепи.

Шаг 4 Повторите шаги 2 и 3 для всех источников энергии, доступных в сети. Если есть три независимых источника, вам нужно повторить эти шаги три раза. И каждый раз вы получаете какое-то значение ответа.

Шаг 5 Теперь объедините все ответы путем алгебраического суммирования, полученные по отдельным источникам. И вы получите окончательное значение отклика для конкретного элемента сети. Если вам нужно найти ответ для других элементов, вам нужно снова выполнить эти шаги для этого элемента.

• Публикация по теме: Анализ схемы SUPERMESH — шаг за шагом с решенным примером

Пример решения теоремы о суперпозиции

Пример:

Давайте разберем работу теоремы суперпозиции на примере. Найдите текущий (I_L ) проходит через резистор 8 Ом в данной сети, используя теорему о суперпозиции.

Решение:

Шаг 1 Как показано в приведенной выше сети, дан один источник напряжения и один источник тока. Поэтому нам нужно повторить процедуру два раза.

Шаг 2 Сначала считаем, что в сети присутствует источник напряжения 28В. Значит, нужно убрать источник тока разомкнутыми клеммами. Как и здесь, мы рассматриваем источник тока как идеальный источник тока. Таким образом, нам не нужно подключать внутреннее сопротивление.

Оставшаяся схема показана на рисунке ниже.

Шаг 3 Найдите текущий (I_L1 ) проходит через резистор 8 Ом. Дает эффект только источника напряжения.

Из-за разомкнутой цепи источника тока через резистор 10 Ом ток не проходит. Итак, сеть состоит только из одной петли.

Применить KVL к циклу;

28 =6I _{Л 1} + 8Я _{Л 1}

28 =14I _{Л 1}

Я _{Л 1} =28/14

Я _{Л 1} =2А

Шаг 4 Теперь мы повторяем ту же процедуру для текущего источника. В этом состоянии мы убираем источник напряжения путем короткого замыкания. Оставшаяся схема показана на рисунке ниже.

Здесь мы должны рассмотреть два цикла. Я₁ и я₂ являются контурным током. И найти текущий I_L2 .

Применить KVL к циклу-1;

0 =6I ₁ + 8Я ₁ – 8Я ₂

14Я ₁ – 8Я ₂ =0

Ток, проходящий через петлю-2, рассчитывается из текущего источника. Так и будет;

Я ₂ =28А

Поместите это значение в приведенное выше уравнение;

14Я ₁ – 8 (28) =0

Я ₁ =16А

Теперь ветвь резистора 8 Ом является общей для обоих контуров. Итак, нам нужно найти результирующий ток (I_L2 ) проходит через резистор 8 Ом.

Я _{Л 2} =Я ₁ – Я ₂

Я _{Л 2} =16 – 28

Я _{Л 2} =-12А

Шаг 5 Теперь мы объединяем влияние обоих источников путем алгебраического суммирования тока. Таким образом, общий ток, протекающий через резистор 8 Ом, равен I_L . Здесь наиболее важно направление тока. Текущий I_L2 имеет знак минус. Это означает, что во время источника 28А ток течет в противоположном направлении. И мы не можем изменить направление. По этой причине при объединении всех источников мы делаем алгебраическое суммирование.

Я _Л =Я_{Л 1} – Я_{Л 2}

Я _Л =2 + (-12)

Я _Л =-10А

Здесь мы предположили, что ток проходит через резистор 8 Ом в направлении стрелки, показанной на рисунке. Знак минус показывает противоположное направление. И сила тока 8А.

• Похожая статья:Анализ схемы СУПЕРУЗЛА — шаг за шагом с решенным примером

Эксперимент по теореме о суперпозиции

Эксперимент с теоремой суперпозиции можно провести, выполнив следующие шаги.

Цель

Определите ток, протекающий через резисторы, и проверьте теорему суперпозиции.

Необходимые компоненты

Источник постоянного тока, резисторы, мультиметры постоянного тока, соединительные провода, макетная плата и т. д.

Теория

Теорема о суперпозиции используется при анализе цепей для определения тока и напряжения на элементах данной цепи. Эта теорема полезна, когда количество источников больше.

Согласно теореме о суперпозиции отклик элементов представляет собой алгебраическую сумму откликов от отдельных источников энергии.

Сначала мы рассчитаем ток, проходящий через резисторы в данной сети. Когда все источники подключены. После этого убираем источники и находим токи по отдельным источникам. Наконец, суммирование тока, измеренного от отдельных источников, аналогично измерениям тока со всеми подключенными источниками.

Процедура

Мы рассматриваем линейную двустороннюю схему, представленную на рисунке ниже.

Подключите все элементы на макетной плате, как показано на приведенной выше схеме, с помощью соединительных проводов. Подключите амперметр ко всем резисторам, чтобы найти ток, протекающий через резисторы. Здесь у нас есть два источника напряжения.

В первом случае измерьте ток, проходящий через все резисторы, когда в цепи присутствуют оба источника напряжения. Ток, протекающий через резистор R₁ , R₂ и R₃ это я ₁ , Я ₂ , и я ₃ соответственно.

Теперь отключите источник напряжения 12 В от цепи. Замкните клеммы A’ и B’, как показано на рисунке выше. Здесь мы предположили, что источники напряжения идеальны. Таким образом, нет необходимости подключать внутреннее сопротивление. Теперь измерьте текущий I _1 фут , Я _2’ и I _3’ это ток, который проходит через резисторы R1, R2 и R3 соответственно.

Аналогично удалите источник напряжения 9 В, и оставшаяся цепь будет такой, как показано на рисунке выше. Снова измерьте ток, протекающий через все резисторы, и назовите его I. _{1 “} , Я _{2 “} , и я _{3 “} .

• Похожая запись: Теорема о максимальной передаче мощности для цепей переменного и постоянного тока

Поместите все значения в таблицу наблюдений ниже.

Таблица наблюдений

Подключение к источнику	R1	R2	R3
Подключены оба источника	Я 1	Я 2	Я 3
Подключено только 12В	Я 1 фут	Я 2’	Я 3’
Подключено только 9В	Я 1 дюйм	Я 2″	Я 3″

Расчет :

Я ₁ =Я _1 фут + Я _1 дюйм

Я ₂ =Я _2’ + Я _2″

Я ₃ =Я _3’ + Я _3″

Чтобы проверить теорему о суперпозиции, мы сравним алгебраическую сумму токов, проходящих через резисторы, когда отдельный источник подключен, с током, измеренным, когда оба источника включены в цепь.

Если приведенные выше вычисления выполняются, мы можем доказать теорему о суперпозиции.

Заключение

В этом эксперименте мы можем доказать, что ток, проходящий через сопротивление, представляет собой алгебраическую сумму тока при подключении отдельного источника энергии. И это доказывает теорему о суперпозиции.

• Связанная запись:Закон Кирхгофа о токе и напряжении (KCL &KVL) | Решенный пример

Применение теоремы суперпозиции

• Теорему о суперпозиции можно использовать для сетей переменного и постоянного тока.
• Когда количество независимых источников больше, легко найти ответ сети.
• Помогает рассчитать прохождение тока и напряжение на элементе путем расчета влияния каждого источника энергии в отдельности. А после мы можем определить совокупное воздействие на элементы из всех источников.

Недостаток теоремы о суперпозиции

• Теорема о суперпозиции не может применяться к схеме, имеющей только зависимый источник. Требовалось как минимум два независимых источника.
• Эта теорема применима только к сети, состоящей из линейных элементов. Его нельзя применить к нелинейным элементам, таким как диод, транзистор и т. д.
• Эта теорема не позволяет вычислить мощность. Поскольку мощность пропорциональна квадрату напряжения и тока, она становится нелинейной.
• Эта теорема неприменима в условиях, когда сопротивление зависит от напряжения и силы тока. Для всех источников энергии значение сопротивления должно оставаться постоянным.
• Эта теорема применима только к двусторонним элементам. Если отклик сети зависит от направления тока, эта теорема неприменима.

Связанные учебные пособия по анализу электрических цепей:

• Теорема Теллегена — Решенные примеры и моделирование в MATLAB
• Калькулятор по правилу Крамера – система из 2 и 3 уравнений для электрических цепей
• Мост Уитстона — схема, работа, происхождение и применение
• Калькуляторы для электротехники и электроники
• 5000+ формул и уравнений для электротехники и электроники