Мастерство звезда-треугольник (Y-Δ) преобразования: упрощение электрических сетей

Преобразование звезда-треугольник и треугольник-звезда — Y-Δ конверсия

В электрической сети сопротивления можно соединять различными способами. Наиболее распространённые — звёздообразная (Y) и треугольная (Δ) схемы. Для решения или упрощения сложных сетей используют Y-Δ преобразование: заменяют звёздную сеть на эквивалентную треугольную и наоборот. Ниже — краткое вывод формул для преобразования нагрузок.

Y-Δ преобразование

Знакомы последовательные, параллельные и смешанные соединения, но Y-Δ — более сложная конфигурация. Трёхфазные сети имеют три провода и обычно соединены в звезду или треугольник. Нагрузку в любой конфигурации можно преобразовать в эквивалентную. Это упрощает математические расчёты при анализе сложных сетей.

Треугольная схема (Delta)

Образуется, когда три ветви или сопротивления замкнуты в контур: начала соединены с концами смежных ветвей. Получается треугольник, напоминающий греческую букву Δ. Также называют π-сетью (по форме после перестановки ветвей). Подробнее о треугольном соединении в предыдущей статье.

Звёздная схема (Star / Wye / Y)

Три ветви соединены в одной точке. Остальные концы свободны. Форма напоминает букву Y (или «Wye»). Также называют T-сетью. Подробнее о звёздном соединении в предыдущей статье.

Преобразование выполняется так, что выводы A, B, C остаются на месте, меняются только сопротивления и их расположение.

Преобразование треугольник → звезда (Delta to Star)

Треугольная сеть с выводами A, B, C и сопротивлениями R₁, R₂, R₃ преобразуется в звёздную с Rₐ, Rᵦ, R꜀, подключёнными к соответствующим выводам.

Выводы A, B, C неизменны, сопротивления между ними тоже.

Сопротивление A-B в треугольнике:

B-C:

A-C:

В звёзде:

Rₐ₆ = Rₐ + Rᵦ

Rᵦ꜀ = Rᵦ + R꜀

Rₐ꜀ = Rₐ + R꜀

Складываем уравнения (i), (ii), (iii):

Вычитаем (i), (ii), (iii) из (iv) по одному:

Вычитание (ii) из (iv):

Аналогично вычитание (i) и (iii):

Из выведенных формул для эквивалентных звёздных сопротивлений Rₐ, Rᵦ, R꜀ следует: эквивалентное звёздное сопротивление равно произведению смежных треугольных сопротивлений с данным выводом, делённому на сумму всех трёх треугольных сопротивлений.

Если все три сопротивления одинаковы в треугольнике, эквивалентное звёздное:

Каждое звёздное сопротивление = ⅓ треугольного.

Преобразование звезда → треугольник (Star to Delta)

Теперь преобразуем звёздные Rₐ, Rᵦ, R꜀ в треугольные R₁, R₂, R₃.

Для нахождения эквивалентных треугольных сопротивлений перемножаем предыдущие уравнения (v) и (vi), (vi) и (vii), (v) и (vii).

Умножение (v) и (vi):

Аналогично (vi)×(vii) и (v)×(vii):

Складываем (viii), (ix), (x):

Для отдельных треугольных сопротивлений делим (xi) на (v), (vi), (vii) соответственно:

Деление (xi) на (v):

Аналогично деление на (vi) и (vii):

Связь между звездой и треугольником: сумма попарных произведений всех звёздных сопротивлений, делённая на звёздное сопротивление соответствующего вывода, равна треугольному сопротивлению, соединённому с противоположным выводом.

Упрощение даёт:

Если все звёздные сопротивления равны, эквивалентное треугольное:

Используя предыдущее уравнение:

Каждое эквивалентное треугольное сопротивление = 3 × звёздное.