Резонанс в параллельном контурном контуре: теория, расчёты и верификация SPICE

Резонанс в параллельном LC-контуре

В параллельном LC-контуре (контурной цепи) резонанс достигается, когда индуктивная реактивность (X_L = 2πfL) в точности равна ёмкостной реактивности (X_C = 1/(2πfC)). Поскольку индуктивная реактивность растёт с частотой, а ёмкостная — падает, только одна частота удовлетворяет этому балансу.

Пример:

Простая параллельная резонансная цепь (контурная цепь).

Для показанной цепи имеем конденсатор 10 мкФ и катушку 100 мГн. Приравнивая формулы реактивностей и решая относительно частоты, получаем резонансную частоту:

Это даёт резонансную частоту 159,155 Гц при L = 100 мГн и C = 10 мкФ.

Расчёт индивидуальных импедансов

На резонансе равные и противоположные реактивности компенсируют друг друга, заставляя общий импеданс параллельной LC-пары стремиться к бесконечности. В практических терминах контурная цепь ведёт себя как разомкнутая цепь и потребляет пренебрежимо малый ток от источника переменного тока.

Для иллюстрации вычислим индивидуальные импедансы конденсатора 10 мкФ и катушки 100 мГн и применим формулу параллельного импеданса:

Значения компонентов выбраны так, чтобы дать резонансные импедансы, удобные для работы (100 Ом).

Формула параллельного импеданса

Используя стандартное выражение для параллельного импеданса, подтверждаем, что общий импеданс расходится, когда реактивности сходятся:

Обзор симуляции в SPICE

Хотя математическое деление на ноль не определено, модель SPICE демонстрирует, что общий импеданс стремится к бесконечности по мере приближения частоты к резонансу. Моделируем цепь на широком диапазоне частот для наблюдения этого поведения.

Резонансная цепь для симуляции SPICE

Так как SPICE не может анализировать контур, содержащий чисто индуктивный источник, вставляется резистор 1 пОм для обеспечения минимального неинвазивного пути для тока. Полученный график тока показывает резкую ямку около предсказанного резонанса 159,155 Гц.

График постпроцессора Nutmeg

В то время как команда .plot выдаёт текстовый вывод, графический постпроцессор Nutmeg даёт более наглядное представление модуля тока в зависимости от частоты:

spice -b -r resonant.raw resonant.cir
nutmeg resonant.raw

Из приглашения Nutmeg:

>setplot ac1
>display
>plot mag(v1#branch)

Графики Боде

Эти выходные данные SPICE — форма графика Боде, который графически представляет амплитуду (или фазу) в зависимости от частоты. Крутизна кривой указывает, насколько резко цепь реагирует на изменение частоты.

Ключевые выводы

• Резонанс возникает, когда X_L равно X_C.
• Для идеального контурного контура без сопротивления резонансная частота f₀ = 1/(2π√LC).
• На резонансе общий импеданс параллельной LC-пары стремится к бесконечности, фактически действуя как разомкнутая цепь.
• График Боде визуализирует частотную характеристику цепи, показывая амплитуду или фазу в зависимости от частоты.

Связанные рабочие листы

• Рабочий лист: Основы радиосвязи
• Рабочий лист: Резонанс