Анализ сложных RC цепей с использованием теоремы Тевенена

Когда цепь содержит резисторы как в последовательных, так и параллельных компоновках вокруг реактивного компонента, стандартные формулы постоянной времени (τ=RC для RC, τ=L/R для RL) больше не применяются напрямую. Решение заключается в приведении сети к простому эквиваленту, сохраняющему напряжение через реактивный элемент.

Рассмотрим следующий пример:

Шаг 1 – Определите нагрузку

В этой сети конденсатор (C1 = 100 мкФ) является нагрузкой. Мы временно удаляем его, чтобы определить эквивалент Тевенена, видимый с его выводов.

Шаг 2 – Вычислите напряжение Тевенена (V_th)

С замыкнутым выключателем и без нагрузки, напряжение на выводах конденсатора (узел 2–узел 3) равно напряжению на резисторе R2. Расчеты дают:

V_th = 1,8182 В

Поскольку полностью заряженный конденсатор ведет себя как разомкнутая цепь (нулевой ток), это также конечное установившееся напряжение, которое достигнет конденсатор.

Шаг 3 – Вычислите сопротивление Тевенена (R_th)

Все независимые источники отключены (источники напряжения замкнуты, источники тока разомкнуты). Результирующее сопротивление, видимое с выводов конденсатора:

R_th = 454,545 Ом

Шаг 4 – Рассчитайте постоянную времени

С C1 = 100 мкФ, постоянная времени цепи:

τ = R_th · C1 = 454,545 Ом × 100 мкФ = 0,0454545 с (45,45 мс)

Шаг 5 – Определите переходный ответ

Предполагая, что конденсатор начинает разряженным (V₀=0 В), напряжение в любой момент t:

V(t) = V_th · (1 – e^–t/τ)

При t = 60 мс:

V(60 мс) = 1,8182 В × (1 – e^{–0,06/0,0454545}) ≈ 1,3325 В

Проверка симуляцией SPICE

Следующий нетлист использовался для подтверждения аналитического результата. Переходный анализ делает выборки каждые 5 мс на протяжении 370 мс.

 * Original circuit v1 1 0 dc 20 r1 1 2 2k r2 2 3 500 r3 3 0 3k c1 2 3 100u ic=0 * Thevenin equivalent v2 4 0 dc 1.818182 r4 4 5 454.545 c2 5 0 100u ic=0 .tran 0.005 0.37 uic .print tran v(2,3) v(5,0) .end

Вывод показывает идентичные напряжения конденсатора в обеих сетях в каждый отображенный момент, подтверждая эквивалентность редукции Тевенена.

Обзор

Для любой RC или RL сети, не являющейся простой последовательной конфигурацией, относите реактивный элемент к нагрузке.
Приведите оставшуюся сеть к её эквиваленту Тевенена (один источник напряжения + последовательный резистор).
Примените стандартную формулу постоянной времени для нахождения переходного ответа.