Исследование эффектов геометрической фазы в резонанторах на нанопроводниках из углеродных нанотрубок

Аннотация

Геометрическая фаза — это дополнительная фазовая эволюция в волновой функции вибраций, потенциально применимая в широком спектре науки и технологий. Характеристики геометрической фазы в сжатом состоянии для резонантора на основе углеродной нанотрубки (УНТ) исследованы с помощью метода инвариантного оператора. Введение линейного инвариантного оператора, полезного для обработки сложных зависящих от времени гамильтоновых систем, позволило получить аналитическую формулу геометрической фазы. Используя её, мы проанализировали временное поведение геометрической фазы на основе релевантных иллюстраций. Исследовано влияние параметров сжатия на эволюцию геометрической фазы. Геометрическая фаза в значительной мере осциллирует, а огибающая таких осцилляций увеличивается со временем. Скорость увеличения геометрической фазы велика, когда параметры, такие как классическая амплитуда осцилляции, коэффициент демпфирования и амплитуда движущей силы, велики. Мы подтвердили очень резкое увеличение геометрической фазы со временем в случае, когда угловая частота системы приближается к резонансной угловой частоте. Наше развитие характеристик геометрической фазы критично для понимания топологических особенностей в нанопроводниковых осцилляциях.

Введение

Механические вибрации самых маленьких резонанторов, таких как основанные на углеродных нанотрубках (УНТ) нанопроводники, полупроводниковые нанопроводники, графен и левитирующие частицы, более десятилетия являются главным объектом исследований в нанонауке. Активные исследования электромеханических осцилляций нанопроводниковых резонанторов, возбуждаемых внешней периодической силой, ведутся в теоретической и экспериментальной сферах. В частности, УНТ-базированные нанопроводниковые резонанторы привлекают значительный интерес как наномасштабные механические устройства благодаря их необычайной чувствительности с высокими качественными факторами к малым возмущениям от окружения. Подвешенные УНТ-нанопроводниковые резонанторы являются перспективными кандидатами для аппаратуры измерения широкого спектра физических величин: ЭМ волн, малых сил, масс, температур и шумов.

Анализ квантовой фазовой эволюции в нанопроводниковых осцилляциях необходим для теоретического elucidation базовых свойств системы. Что касается квантовых вибрационных состояний УНТ-нанопроводниковых резонанторов, геометрическая фаза, как и обычная динамическая фаза, возникает как дополнительная эволюция фазы. Геометрическая фаза — это aholonomic квантового состояния, применимая в различных областях физики. Анализ геометрической фазы может быть потенциально принят для характеристики нано-свойств нанопроводников, таких как резонансные профили, сильные квантовые вибрации, механизмы релаксации напряжений, возникновение Дираковских магнитоплазмонов и топология Ахаронов-Бома осцилляций.

Изучение геометрической фазы, ассоциированной с неадиабатической динамикой, может дать понимание для наномеханических систем, необходимое для продвижения точных техник моделирования. Подготовка, манипуляция и детектирование квантовых состояний — важные факторы в квантовых технологиях. Цель настоящего исследования — прояснить временное поведение геометрической фазы, происходящей в квантовых состояниях нанопроводниковых осцилляций. Чтобы понять механизм УНТ-нанопроводниковых вибраций, мы исследуем временную эволюцию геометрической фазы в сжатом состоянии, которое является классически-подобным квантовым состоянием, как когерентное состояние. Преимущество сжатого состояния в том, что неопределенность квадратуры в этом состоянии может быть существенно снижена за счет повышения неопределенности другой квадратуры, тогда как такая модуляция неопределенности невозможна в когерентном состоянии. В частности, мы проанализируем эффекты резонанса на геометрическую фазу. Поскольку резонансная энергия значительно отличается от энергии нерезонантного состояния, топологическое поведение волновой функции нетривиально и может значительно отклоняться от нормальных ситуаций. Влияние изменения физических параметров и параметров сжатия на эволюцию геометрической фазы также будет строго проанализировано. Геометрические фазы вездесущи в динамических системах и могут применяться в различных современных технологиях: квантовые вычисления, интенсивностные интерферометрии, фотонное мультизадачи, квантовые сенсинговые протоколы и измерения стабильности волн.

Гамильтониан системы включает временные функции, ассоциированные с демпфированием системы и внешней движущей силой. Следовательно, система является разновидностью зависящих от времени гамильтоновых систем (TDHS), квантомеханические проблемы которых изучаются до недавнего времени. Временная функция в гамильтониане TDHS в большинстве случаев не может быть отделена от функции канонических переменных, делая конвенциональный метод разделения переменных для решения уравнения Шредингера неприменимым. Альтернативный мощный метод, разработанный для преодоления этой трудности — метод инвариантного оператора, введенный Льюисом и Ризенфельдом. Этот метод является очень полезным математическим инструментом при получении квантовых решений TDHS. Многие квантомеханические проблемы, описываемые TDHS, исследуются на основе этого метода. Например, они включают хаотическое рассеяние частиц, распространение света в временно-изменяющихся средах, управление запертыми движущимися электронами и неклассичность квантовых наноэлектронных схем. Существует множество других методов для квантомеханического лечения TDHS, включая метод унитарного преобразования, метод Ли алгебр и метод оценки гамильтониана.

Поскольку система является TDHS, мы используем метод инвариантного оператора для получения квантовых решений системы. Будет введен линейный инвариантный оператор, представленный через оператор аннигиляции. Пока операторы аннигиляции и создания представлены через время из-за временной зависимости системы, как когерентные, так и сжатые состояния могут быть получены с использованием этих лестничных операторов. Геометрическая фаза системы будет аналитически оценена с использованием волновой функции в сжатом состоянии. Временная эволюция геометрической фазы будет детально проанализирована на основе её иллюстраций с различными выборами параметров.

Методы

Для исследования геометрической фазы сначала нужно настроить классическое уравнение движения кончика нанопроводника. Поскольку геометрическая фаза появляется в квантовой волновой эволюции TDHS, необходимо вывести волновые функции в конкретном квантовом состоянии, которым мы управляем. Мы рассмотрим сжатое состояние, как упоминалось во введении. Волновые функции в различных квантовых состояниях TDHS, включая сжатое состояние, могут быть получены из метода инвариантного оператора.

Уравнение движения для зависящего от времени амплитуды x для режима изгиба подвешенной углеродной нанотрубки с эффективной массой m задается как:

$$ \ddot{x}+\left(\frac{\omega_{0}}{Q} +\eta x^{2}\right) \dot{x}+\left(\omega_{0}^{2}+\beta x^{2}\right) x = f_{\mathrm{d}}\cos (\omega t), $$ (1)

где ω₀ — резонансная угловая частота, Q — качественный фактор, f_d — электростатическая движущая сила, деленная на m, η — нелинейный коэффициент демпфирования, β — параметр Даффинга. Допустим для удобства, что смещение кончика достаточно мало относительно длины УНТ-проводника. Тогда мы можем пренебречь нелинейными членами в уравнении (1), получая:

$$ \ddot{x}+\frac{\omega_{0}}{Q} \dot{x}+\omega_{0}^{2} x = f_{\mathrm{d}}\cos (\omega t). $$ (2)

Гамильтониан системы, дающий уравнение (2), имеет вид:

$$ \hat{H}= e^{-\gamma t} \frac{\hat{p}^{2}}{2m} +\frac{1}{2}me^{\gamma t} \left[\omega_{0}^{2} \hat{x}^{2} - 2f_{\mathrm{d}}\cos (\omega t)\hat{x}\right], $$ (3)

где γ=ω₀/Q. Классическое решение уравнения (2) состоит из дополнительной функции X_c(t) и частного решения X_p(t), которые даны:

$$ X_{c}(t)=X_{c,0}e^{-\gamma t/2}\cos(\Omega t+\varphi), $$ (4) $$ X_{p}(t) =X_{p,0}\cos (\omega t - \delta), $$ (5)

где X_c,0 — постоянная, Ω = √(ω₀² - γ²/4), φ — произвольная фаза, и

$$ X_{p,0}=\frac{f_{\mathrm{d}}}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2} -\omega^{2}\right)^{2} + \gamma^{2} \omega^{2}}}, $$ (6) $$ \delta = \tan^{-1} \frac{\gamma \omega}{ \omega_{0}^{2} -\omega^{2}}. $$ (7)

Классическое решение в импульсном пространстве дано аналогичным образом, где дополнительная функция P_c(t) = m e^{γt} \dot{X}_c(t) и частное решение P_p(t) = m e^{γt} \dot{X}_p(t). Для исследования геометрической фазы системы сначала нужно вывести квантовые решения. Обратите внимание, что гамильтониан системы, данный в уравнении (3), явно зависит от времени. Для получения квантовых решений системы мы используем метод инвариантного оператора, который является полезным методом при обработке таких временно-вариабельных систем. Инвариантный оператор Î системы может быть выведен из уравнения Лиувилля-фон Неймана, данного как dÎ/dt = ∂Î/∂t + [Î,Ĥ]/(iℏ) = 0. Следовательно, после строгой оценки с подстановкой уравнения (3) в это уравнение, мы имеем линейный инвариантный оператор вида:

$$ \hat{I} = \hat{A} e^{i\Omega t}, $$ (8)

где Â — оператор аннигиляции, данный как:

$$ \hat{A} = \left(2\hbar m\Omega\right)^{-1/2} \left[ m \left(\Omega+ i\frac{\gamma}{2} \right) e^{\gamma t/2}\left[\hat{x}-X_{p}(t)\right] + i e^{-\gamma t/2} \left[\hat{p}-P_{p}(t)\right] \right]. $$ (9)

Эрмитов сопряженный уравнения (9), †, является оператором создания.

Уравнение собственных значений Â можно выразить как Â|A⟩ = A|A⟩. Оценивая это уравнение, получаем выражение собственного значения: A(t) = A(0)e^{-iΩt}, где A(0)=A₀e^{-iφ} с A₀ = [mΩ/(2ℏ)]^{1/2}X_c,0.

В то время как когерентное состояние |A⟩ является собственным состоянием Â, сжатое состояние является собственным состоянием оператора B̂ = μ + ν†, где μ и ν — комплексные переменные, удовлетворяющие |μ|² - |ν|² = 1. Решая уравнение B̂|B⟩ = B|B⟩ в конфигурационном пространстве, получаем волновую функцию в сжатом состоянии (уравнение 16). Для μ=1 и ν=0 уравнение (16) переходит в волновую функцию когерентного состояния. Эта волновая функция будет использована для вывода геометрической фазы в сжатом состоянии.

Результаты и обсуждение

Известно, что фаза в квантовой волновой эволюции включает геометрическую фазу помимо динамической. Геометрическая фаза была впервые открыта Берри в 1984 году для системы, эволюционирующей циклически с адиабатическим изменением. Согласно адиабатической теореме квантовой механики, мгновенное собственное состояние квантовой системы в циклической эволюции в пространстве параметров останется в том же состоянии позже, при этом появляется дополнительное накопление квантовой фазы — фазы Берри. Обобщение фазы Берри, включающее неадиабатические, нециклические и/или неунитарные эволюции квантовой системы, является геометрической фазой.

Геометрическая фаза в сжатом состоянии дается уравнением (17). Дифференцирование волновой функции по времени в конфигурационном пространстве приводит к уравнению (18) с коэффициентами f₁, f₂, f₃ (уравнения 19–21). Дальнейшая оценка после подстановки дает уравнение (22) для γ_G(t), где коэффициенты g₁–g₅ определены уравнениями (23)–(27). Последний член в g₅, содержащий (μ-μ*)(ν-ν*), неадекватен как фаза, так как это чисто мнимое число. Мы удаляем этот член, выбирая хотя бы один из μ и ν как вещественное значение, что всегда можно сделать без потери общности, поскольку физическое значение имеет только относительная фаза между μ и ν.

Выполняя интегрирование в уравнении (22), получаем полную геометрическую фазу в сжатом состоянии — уравнение (28) с уравнениями (23), (24) и (29)–(32).

Временная эволюция геометрической фазы проиллюстрирована на рис. 1–4. С рис. 1 видно, что геометрическая фаза осциллирует, а огибающая таких осцилляций увеличивается со временем. Увеличение огибающей больше, когда A₀ велико. Образец осцилляций становится постепенно нерегулярным по мере увеличения значений μ и ν. Более того, амплитуда осцилляций становится большой по мере течения времени.

Временная эволюция геометрической фазы для нескольких разных значений A₀. Значения (μ, ν) в графиках: (1, 0) для a, (√2, 1) для b, (√3, √2) для c. Использовали m=1, ω₀=1, ω=5, γ=0,35, f_d=1, ℏ=1, φ=0, γ_G(0)=0. Фаза и все параметры приняты безразмерными для удобства. Поскольку A₀ выражается через классическую амплитуду X_c,0 дополнительной функции [см. уравнение (12)], из графиков видно, что геометрическая фаза велика, когда амплитуда осцилляции высока. Также видим, что флуктуация γ_G(t) становится большой по мере увеличения значений μ и ν при условии уравнения (14).

Временная эволюция геометрической фазы для нескольких разных значений γ. Значение ω в графиках: 0,3 для a, 0,99 для b, 5 для c. Параметры сжатия: μ=√2, ν=1; этот выбор дает q-сжатое состояние в начальный момент. Другие величины: m=1, ω₀=1, A₀=1, f_d=1, ℏ=1, φ=0, γ_G(0)=0. Подтверждаем, что геометрическая фаза велика, когда коэффициент демпфирования γ велик в большинстве случаев, но не во всех. Частота случая b близка к резонансной частоте, тогда как a и c далеки от резонансной. Геометрическая фаза для резонансного случая (b) увеличивается очень быстро со временем.

a–c Эта графика та же, что и рис. 2, но для случая, когда выбранные параметры сжатия μ=√2, ν=-1, дающие p-сжатое состояние в начальный момент. Тот факт, что общие графики в этом случае не так сильно отличаются от соответствующих рис. 2, подтверждает, что эволюция γ_G(t) почти не зависит от типов сжатия, пока абсолютные значения μ и ν не меняются.

Временная эволюция геометрической фазы для нескольких разных значений f_d. Значение ω в графиках: 0,3 для a и 5 для b. Использовали μ=√2, ν=1, m=1, ω₀=1, γ=0,3, A₀=1, ℏ=1, φ=0, γ_G(0)=0. По мере увеличения амплитуды движущей силы f_d геометрическая фаза становится большой.

Эффекты сжатия в сжатом состоянии в зависимости от параметра сжатия c=μ/ν исследованы в работе [39]. Согласно анализу в [39], сжатое состояние на рис. 2 (c=√2) является q-сжатым состоянием в начальный момент, тогда как на рис. 3 (c=-√2) — p-сжатым состоянием в той же ситуации. Сравнивая рис. 2 и 3, заключаем, что геометрическая фаза в q-сжатом состоянии почти та же, что и в p-сжатом состоянии.

Эффекты γ на эволюцию геометрической фазы подтверждаются из рис. 2 и 3. Геометрическая фаза увеличивается быстрее, когда γ велико. Сравнивая рис. 2a и 3a с рис. 2c и 3c, подтверждаем, что геометрическая фаза меняется несколько быстрее, когда ω больше резонансной угловой частоты.

Временное поведение геометрической фазы на резонансе или возле него может представлять большой интерес. Рис. 2b и 3b показывают, что геометрическая фаза увеличивается очень быстро, когда ω близка к резонансной угловой частоте. Это означает, что волновая функция в этой ситуации значительно меняется со временем, потому что величина геометрической фазы связана с временной вариацией волновой функции. На самом деле, амплитуда проводниковых осцилляций заметно возрастает в резонансном состоянии. Кстати, резонансные угловые частоты подвешенных УНТ-нанопроводниковых резонанторов не только высоки, но и широко настраиваемы с очень высокими качественными факторами. По этой причине вибрационные моды системы будут сохраняться долго, пока полностью не затухнут.

Рис. 4 показывает, что геометрическая фаза также влияет амплитуда движущей силы f_d. По мере увеличения f_d прирост геометрической фазы во времени быстр.

Заключение

Мы исследовали геометрическую фазу в сжатом состоянии для системы на основе квантовой динамики с уравнением Шредингера. Учитывая временную зависимость гамильтониана, описывающего систему, был введен метод инвариантного оператора, который является потенциальным инструментом для получения квантовых решений в случае, когда гамильтониан описан через время. С помощью этого метода получена аналитическая формула геометрической фазы для УНТ-базированных нанопроводниковых осцилляций.

Детальный анализ фазовых эффектов, необходимый для теоретического понимания механических вибраций, был проведен. Наше развитие геометрической фазы является полностью квантовым с строгими математическими оценками. Геометрическая фаза чувствительна к изменению механических параметров и демонстрирует осцилляции в большинстве случаев. Влияние параметров сжатия на эволюцию геометрической фазы также проанализировано. Мы подтвердили сильное увеличение накопления геометрической фазы со временем возле резонансной угловой частоты.

Наши результаты иллюстрируют временное поведение геометрической фазы, появляющейся в вибрации УНТ-базированного нанопроводника. Анализ геометрической фазы, данный в этой работе, важен для понимания не только топологических особенностей системы, но и динамических вибраций других нанопроводниковых механических осцилляторов. В частности, мы разработали фазовые свойства резонансного состояние, прояснение которых необходимо в применении системы в квантовых информационных технологиях и других квантовых отраслях. Подобный метод и структура, использованные в этом исследовании, могут быть расширены на другие наносистемы, такие как сверхпроводящие Фабри-Перо резонанторы, наноконсоли и гибридные кубит-резонатор-атом системы.

Аббревиатуры

CNT:

Углеродная нанотрубка

EM waves:

Электромагнитные волны

TDHS:

Зависящая от времени гамильтонова система