Метод текущего ветвления

Первый и наиболее простой метод сетевого анализа называется Branch Current Method . . В этом методе мы предполагаем направления токов в сети, а затем записываем уравнения, описывающие их отношения друг к другу с помощью законов Кирхгофа и Ома. Когда у нас есть одно уравнение для каждого неизвестного тока, мы можем решить одновременные уравнения и определить все токи и, следовательно, все падения напряжения в сети.

Решение с использованием метода текущего ветвления

Давайте воспользуемся этой схемой, чтобы проиллюстрировать метод:

Выбор узла

Первый шаг - выбрать узел (соединение проводов) в цепи, чтобы использовать его в качестве точки отсчета для наших неизвестных токов. Я выберу узел, присоединяющийся справа от R ₁ , вершина R ₂ , а слева от R ₃ .

В этом узле угадайте, в каком направлении идут токи трех проводов, обозначив три тока как I ₁ , Я ₂ , а я ₃ , соответственно. Имейте в виду, что эти направления тока на данный момент являются спекулятивными. К счастью, если окажется, что какое-либо из наших предположений было ошибочным, мы узнаем это, когда математически найдем токи (любые «неправильные» направления тока будут отображаться в нашем решении как отрицательные числа).

Применить действующий закон Кирхгофа (KCL)

Закон Кирхгофа (KCL) говорит нам, что алгебраическая сумма токов, входящих и выходящих из узла, должна быть равна нулю, поэтому мы можем связать эти три тока (I ₁ , Я ₂ , а я ₃ ) друг к другу в одном уравнении. Ради условности я буду обозначать все текущие входящие узел как положительный знак, и любой текущий выход узел как минус в знаке:

Обозначьте все падения напряжения

Следующим шагом является маркировка всех полярностей падения напряжения на резисторах в соответствии с предполагаемым направлением токов. Полярность положительная, когда ток входит в резистор, и отрицательная, когда он выходит из резистора:

Полярность батареи, конечно же, остается такой же, как и в соответствии с их символикой (короткий конец отрицательный, длинный конец положительный). Это нормально, если полярность падения напряжения на резисторе не совпадает с полярностью ближайшей батареи, при условии, что полярность напряжения резистора правильно основана на предполагаемом направлении тока через нее. В некоторых случаях мы можем обнаружить, что ток будет принудительно обратно через батарею, вызывая именно этот эффект. Здесь важно помнить, что все полярности резисторов и последующие расчеты должны основываться на изначально предполагаемых направлениях тока. Как указывалось ранее, если ваше предположение окажется неверным, это станет очевидным после того, как уравнения будут решены (с помощью отрицательного решения). Однако масштаб решения все равно будет правильным.

Применение закона Кирхгофа о напряжении (KVL)

Закон Кирхгофа (KVL) говорит нам, что алгебраическая сумма всех напряжений в контуре должна равняться нулю, поэтому мы можем создать больше уравнений с текущими членами (I ₁ , Я ₂ , а я ₃ ) для наших одновременных уравнений. Чтобы получить уравнение КВЛ, мы должны подсчитать падения напряжения в контуре цепи, как если бы мы измеряли с помощью настоящего вольтметра. Я выберу сначала обвести левую петлю этой схемы, начиная с верхнего левого угла и двигаясь против часовой стрелки (выбор начальных точек и направлений произвольный). Результат будет выглядеть так:

Завершив трассировку левого контура, мы складываем эти показания напряжения вместе, чтобы получить нулевую сумму:

Конечно, мы еще не знаем, какое напряжение на R ₁ . или R ₂ , поэтому на данном этапе мы не можем вставлять эти значения в уравнение в виде числовых цифр. Однако мы делаем знайте, что все три напряжения должны алгебраически складываться с нулем, поэтому уравнение верно. Мы можем пойти дальше и выразить неизвестные напряжения как произведение соответствующих неизвестных токов (I ₁ и я ₂ ) и их соответствующие резисторы, следуя закону Ома (E =IR), а также исключить 0 членов:

Поскольку мы знаем, какие значения всех резисторов выражены в омах, мы можем просто подставить эти цифры в уравнение, чтобы немного упростить ситуацию:

Вам может быть интересно, почему мы взяли на себя все труды по манипулированию этим уравнением, начиная с его первоначальной формы (-28 + E _R2 + E _R1 ). В конце концов, последние два члена все еще неизвестны, так что какое преимущество в выражении их в терминах неизвестных напряжений или неизвестных токов (умноженных на сопротивления)? Цель этого - получить уравнение KVL, выраженное с использованием тех же неизвестных переменных . как уравнение KCL, поскольку это является необходимым требованием для любого метода решения одновременных уравнений. Чтобы найти три неизвестных тока (I ₁ , Я ₂ , а я ₃ ), мы должны иметь три уравнения, связывающих эти три тока (не напряжения !) вместе.

Применяя те же шаги к правому контуру схемы (начиная с выбранного узла и двигаясь против часовой стрелки), мы получаем другое уравнение KVL:

Теперь, зная, что напряжение на каждом резисторе может быть и должно быть выраженное как произведение соответствующего тока и (известного) сопротивления каждого резистора, мы можем переписать уравнение как таковое:

Решение неизвестного

Теперь у нас есть математическая система из трех уравнений (одно уравнение KCL и два уравнения KVL) и трех неизвестных:

Для некоторых методов решения (особенно для любого метода с использованием калькулятора) полезно выражать каждый неизвестный член в каждом уравнении любым постоянным значением справа от знака равенства и любыми членами «единицы», выраженными с явным коэффициентом из 1. Переписывая уравнения еще раз, получаем:

Используя любые доступные нам методы решения, мы должны прийти к решению для трех неизвестных текущих значений:

Итак, я ₁ составляет 5 ампер, я ₂ составляет 4 ампера, а я ₃ это минус 1 ампер. Но что означает «отрицательный» ток? В данном случае это означает, что наш предполагаемый направление для I ₃ была противоположностью его настоящего направление. Возвращаясь к нашей исходной схеме, мы можем перерисовать текущую стрелку для I ₃ (и перерисуйте полярность R ₃ Соответствующее падение напряжения):

Нарисуйте схему заново

Обратите внимание, как ток проталкивается назад через батарею 2 (электроны текут «вверх») из-за более высокого напряжения батареи 1 (ток которой направлен «вниз», как обычно)! Несмотря на то, что полярность батареи B2 пытается вытолкнуть электроны вниз в этой ветви цепи, электроны вытесняются обратно через нее из-за более высокого напряжения батареи B1. Означает ли это, что более сильная батарея всегда будет «побеждать», а более слабая батарея всегда будет пропускать ток в обратном направлении? Нет! На самом деле это зависит от относительного напряжения обоих аккумуляторов и номиналы резисторов в цепи. Единственный надежный способ определить, что происходит, - это потратить время на математический анализ сети.

Рассчитайте падение напряжения на всех резисторах

Теперь, когда мы знаем величину всех токов в этой цепи, мы можем рассчитать падение напряжения на всех резисторах по закону Ома (E =IR):

Анализируйте сеть с помощью SPICE

Давайте теперь проанализируем эту сеть с помощью SPICE, чтобы проверить наши значения напряжения. Мы также можем анализировать ток с помощью SPICE, но поскольку для этого требуется установка дополнительных компонентов в схему, и поскольку мы знаем, что если все напряжения одинаковы и все сопротивления одинаковы, токи должны все будет одинаково, я выберу менее сложный анализ. Вот повторный чертеж нашей схемы с номерами узлов для справки SPICE:

 пример сетевого анализа v1 1 0 v2 3 0 постоянного тока 7 г1 1 2 4 г2 2 0 2 г3 2 3 1 .dc v1 28 28 1 .print dc v (1,2) v (2,0) v (2,3) .конец v1 v (1,2) v (2) v (2,3) 2.800E + 01 2.000E + 01 8.000E + 00 1.000E + 00 

Разумеется, все значения напряжения оказались одинаковыми:20 вольт на R ₁ . (узлы 1 и 2), 8 вольт на R ₂ (узлы 2 и 0) и 1 вольт на R ₃ (узлы 2 и 3). Обратите внимание на знаки всех этих значений напряжения:все они положительные! SPICE основывает свои полярности на порядке, в котором перечислены узлы, первый узел является положительным, а второй - отрицательным. Например, число положительных (+) 20 вольт между узлами 1 и 2 означает, что узел 1 является положительным по отношению к узлу 2. Если бы значение было отрицательным в анализе SPICE, мы бы знали, что наша фактическая полярность была «Назад» (узел 1 отрицателен по отношению к узлу 2). Проверяя порядок узлов в списке SPICE, мы видим, что все полярности соответствуют тому, что мы определили с помощью метода анализа Branch Current.

ОБЗОР:

• Шаги, которые необходимо выполнить для метода анализа «Текущий ток ветви»:
  • Выберите узел и примите направление течения.
  • Напишите уравнение KCL, связывающее токи в узле.
  • Обозначьте полярность падения напряжения на резисторе в зависимости от предполагаемого тока.
  • Напишите уравнения KVL для каждого контура схемы, подставляя произведение IR вместо E в каждом члене резистора в уравнениях.
  • Найдите неизвестные токи ответвления (одновременные уравнения).
  • Если какое-либо решение отрицательное, то предполагаемое направление тока для этого решения неверно!
  • Найдите падение напряжения на всех резисторах (E =IR).

СВЯЗАННЫЙ РАБОЧИЙ ЛИСТ:

• Рабочий лист анализа постоянного тока в ответвлении