Упрощение логики с помощью карт Карно

Примеры упрощения логики, которые мы сделали до сих пор, можно было бы выполнить с помощью булевой алгебры примерно так же быстро. Проблемы упрощения логики в реальном мире требуют больших карт Карно, чтобы мы могли серьезно поработать.

В этом разделе мы рассмотрим несколько надуманных примеров, оставив большинство реальных приложений для главы «Комбинаторная логика». Под надуманным мы подразумеваем примеры, иллюстрирующие техники.

Этот подход позволит разработать инструменты, необходимые для перехода к более сложным приложениям, описанным в главе «Комбинаторная логика».

Карты Карно и последовательность кода Грея

Мы показываем нашу ранее разработанную карту Карно. Мы воспользуемся формой справа.

Обратите внимание на последовательность чисел в верхней части карты. Это не двоичная последовательность, которая была бы 00, 01, 10, 11 . . Это 00, 01, 11 10 . , которая представляет собой последовательность кода Грея. Последовательность кода Грея изменяет только один двоичный бит при переходе от одного числа к другому в последовательности, в отличие от двоичной.

Это означает, что соседние ячейки будут отличаться только одним битом или логической переменной. Это то, что нам нужно для организации выходных данных логической функции, чтобы мы могли видеть общность.

Более того, заголовки столбцов и строк должны быть в порядке кода Грея, иначе карта не будет работать как карта Карно. Ячейки, использующие общие логические переменные, больше не будут смежными и не будут отображать визуальные шаблоны.

Соседние ячейки различаются только на один бит, поскольку последовательность кода Грея изменяется только на один бит.

Создание кода Грея

Если мы делаем набросок собственных карт Карно, нам нужно сгенерировать код Грея для карты любого размера, которую мы можем использовать. Так мы генерируем код Грея любого размера.

Обратите внимание, что последовательность кода Грея, расположенная вверху справа, изменяется только на один бит при спуске по списку или снизу вверх по списку. Это свойство кода Грея часто используется для цифровой электроники в целом. В частности, это применимо к картам Карно.

Примеры упрощения с помощью карт Карно

Перейдем к некоторым примерам упрощения с помощью карт Карно с 3 переменными. Мы покажем, как отобразить термины продукта непростой логики в K-карту.

Мы проиллюстрируем, как идентифицировать группы смежных ячеек, что приводит к упрощению цифровой логики на основе суммы произведений.

Выше мы помещаем 1 на K-карту для каждого из терминов продукта, определяем группу из двух, затем пишем p-term (термин продукта) для единственной группы как наш упрощенный результат.

Сопоставление четырех терминов продукта выше дает группу из четырех, охватываемых логическим значением A ’

Отображение четырех p-членов дает группу из четырех, которые покрываются одной переменной C .

После сопоставления шести p-членов, указанных выше, определите верхнюю группу из четырех, возьмите две нижние ячейки как группу из четырех, разделив две ячейки с еще двумя из другой группы. Если покрыть эти двое группой из четырех человек, результат будет проще.

Поскольку существует две группы, в результате суммы произведений A ’+ B будет два p-члена.

Два вышеуказанных термина продукта образуют одну группу из двух и упрощаются до BC .

Сопоставление четырех p-членов дает одну группу из четырех, которая равна B

Отображение четырех p-членов выше дает группу из четырех человек. Визуализируйте группу из четырех человек, свернув концы карты, чтобы сформировать цилиндр, тогда ячейки станут смежными. Обычно мы отмечаем группу из четырех человек, как показано выше слева.

Из переменных A, B, C есть общая переменная:C ’. C ’представляет собой 0 всего четырех ячеек. Конечный результат: C ’

.

Вышеупомянутые шесть ячеек из неупрощенного уравнения можно разделить на две группы по четыре. Эти две группы должны дать нам два p-члена в нашем упрощенном результате A ’+ C’ . .

Упрощение булевых уравнений с помощью карт Карно

Ниже мы вернемся к установке для сжигания токсичных отходов из главы, посвященной булевой алгебре. См. Главу о булевой алгебре для подробностей об этом примере. Мы упростим логику, используя карту Карно.

Булево уравнение для вывода имеет четыре продукта. Отобразите четыре единицы, соответствующие p-членам. Формируя группы ячеек, мы получаем три группы по два человека. В упрощенном результате будет три p-члена, по одному для каждой группы. См. Раздел «Преобразование таблиц истинности в булевы выражения» в главе 7, где приведена логическая диаграмма результата, которая воспроизводится ниже.

Ниже мы повторяем упрощение булевой алгебры установки для сжигания токсичных отходов для сравнения.

Ниже мы повторяем решение карты Карно для мусоросжигателя токсичных отходов для сравнения с приведенным выше упрощением булевой алгебры. Этот случай иллюстрирует, почему карта Карно широко используется для упрощения логики.

Метод карты Карно, безусловно, выглядит проще, чем предыдущие страницы булевой алгебры.

СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ТАБЛИЦЫ:

• Карточный лист Карно