Цифры и символы

Выражение числовых величин - это то, что мы склонны принимать как должное. Это и хорошо, и плохо в изучении электроники.

Это хорошо тем, что мы привыкли использовать числа и манипулировать ими для многих вычислений, используемых при анализе электронных схем.

С другой стороны, особая система обозначений, которой нас учили с начальной школы, не система, используемая внутри в современных электронных вычислительных устройствах, и изучение любой другой системы записи требует некоторого пересмотра глубоко укоренившихся предположений.

Числа

Во-первых, мы должны различать числа и символы, которые мы используем для представления чисел. число - математическая величина, обычно коррелируемая в электронике с такой физической величиной, как напряжение, ток или сопротивление. Есть много разных типов чисел. Вот лишь несколько типов, например:

ЦЕЛОЕ НОМЕРА:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. . .

Целые числа:
-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. . .

ИРРАЦИОННЫЕ НОМЕРА:
π (прибл. 3,1415927),
e (прибл. 2,718281828),
квадратный корень из любого простого числа

РЕАЛЬНЫЕ НОМЕРА:
(Все одномерные числовые значения, отрицательные и положительные,
включая ноль, целые, целые и иррациональные числа)

КОМПЛЕКСНЫЕ НОМЕРА:
3 - j4, 34,5 ∠ 20 ^o

Различные типы чисел находят различное применение в физическом мире. Целые числа хорошо подходят для подсчета дискретных объектов, таких как количество резисторов в цепи. Целые числа необходимы, когда требуются отрицательные эквиваленты целых чисел.

Иррациональные числа - это числа, которые нельзя точно выразить как отношение двух целых чисел, и отношение длины окружности идеального круга к его диаметру (π) является хорошим физическим примером этого. Нецелые величины напряжения, тока и сопротивления, с которыми мы привыкли иметь дело в цепях постоянного тока, могут быть выражены как действительные числа, в дробной или десятичной форме.

Однако при анализе цепей переменного тока действительные числа не отражают двойственную сущность величины и фазового угла, поэтому мы переходим к использованию комплексных чисел в прямоугольной или полярной форме.

Символы

Если мы собираемся использовать числа для понимания процессов в физическом мире, делать научные прогнозы или уравновешивать наши чековые книжки, мы должны иметь способ их символического обозначения.

Другими словами, мы можем знать, сколько денег у нас есть на нашем текущем счете, но для того, чтобы вести их учет, нам нужна некоторая система, разработанная для обозначения этого количества на бумаге или в какой-то другой форме для ведения учета и отслеживание.

Аналоговый и цифровой

Это можно сделать двумя основными способами:аналоговым и цифровым. В аналоговом представлении количество символизируется бесконечно делимым образом. В цифровом представлении количество символизируется в дискретной упаковке.

Аналоговое представление

Вы, вероятно, уже знакомы с аналоговым представлением денег и не понимаете, что это такое. Вы когда-нибудь видели плакат по сбору средств с изображением термометра, на котором высота красного столбца указывала сумму денег, собранных для этого дела? Чем больше денег собрано, тем выше столбец красных чернил на плакате.

Это пример аналогового представления числа. Нет никаких реальных ограничений на то, насколько точно можно разделить высоту этого столбца, чтобы обозначить сумму денег на счете. Изменить высоту этого столбца можно, не меняя сути того, что это такое.

Длина - это физическая величина, которую можно разделить на сколько угодно без практических ограничений. Логарифмическая линейка - это механическое устройство, которое использует одну и ту же физическую величину - длину - для представления чисел и помогает выполнять арифметические операции с двумя или более числами одновременно. Это тоже аналоговое устройство.

Цифровое представление

С другой стороны, цифровой представление той же денежной суммы, написанное стандартными символами (иногда называемыми шифрами), выглядит следующим образом:

35 955,38 долл. США

В отличие от плаката с изображением термометра с красным столбцом, эти символические символы выше не могут быть точно разделены:эта конкретная комбинация цифр обозначает одно количество и только одно количество.

Если на счет добавляется больше денег (+ 40,12 доллара США), необходимо использовать разные символы для представления нового баланса (35 995,50 долларов США) или, по крайней мере, те же символы, расположенные по разным схемам. Это пример цифрового представления.

Аналогом логарифмической линейки (аналог) также является цифровое устройство:счеты с шариками, которые перемещаются вперед и назад на стержнях для обозначения числовых величин:

Контраст между аналоговым и цифровым представлением

Давайте сравним эти два метода числового представления:

АНАЛОГОВЫЙ ЦИФРОВОЙ
---------------------------------------------- --------------------
Понятно интуитивно ----------- Требуется обучение интерпретации
Бесконечно делимое --- ----------- Дискретный
Склонен к ошибкам точности ------ Абсолютная точность

Интерпретация числовых символов - это то, что мы склонны принимать как должное, потому что этому нас учили много лет. Однако, если вы попытаетесь сообщить количество чего-либо человеку, не знающему десятичных чисел, этот человек все равно сможет понять простую диаграмму термометра!

Сравнение бесконечно делимого и дискретного, а также прецизионное - это две стороны одной медали. Тот факт, что цифровое представление состоит из отдельных дискретных символов (десятичных цифр и бусинок на счетах), обязательно означает, что оно сможет отображать количества в точных шагах.

С другой стороны, аналоговое представление (например, длина логарифмической линейки) состоит не из отдельных шагов, а, скорее, из непрерывного диапазона движений. Способность логарифмической линейки характеризовать числовую величину с бесконечным разрешением - это компромисс за неточность.

Если скользящая линейка ударилась, ошибка будет внесена в представление числа, которое было «введено» в нее. Тем не менее, абак должен подвергаться ударам намного сильнее, прежде чем его бусинки полностью сдвинутся со своих мест (достаточное количество, чтобы представить другое число).

Не поймите неправильно эту разницу в точности, думая, что цифровое представление обязательно более точное, чем аналоговое. Тот факт, что часы являются цифровыми, не означает, что они всегда будут считывать время более точно, чем аналоговые часы, это просто означает, что интерпретация его отображение менее неоднозначно.

Делимость аналогового и цифрового представления может быть дополнительно прояснена, если говорить о представлении иррациональных чисел. Такие числа, как π, называются иррациональными, потому что они не могут быть точно выражены как дробь целых чисел или целые числа.

Хотя в прошлом вы, возможно, узнали, что дробь 22/7 может использоваться для вычисления π, это всего лишь приближение. Фактическое число «пи» не может быть точно выражено каким-либо конечным или ограниченным числом десятичных знаков. Цифры π продолжаются вечно:

3,1415926535897932384. . . . .

Можно, по крайней мере теоретически, установить логарифмическую линейку (или даже столбик термометра), чтобы точно представлять число π, потому что аналоговые символы не имеют минимального предела степени, в которой они могут быть увеличены или уменьшены.

Если моя линейка показывает цифру 3,141593 вместо 3,141592654, я могу поднять слайд чуть больше (или меньше), чтобы приблизить его. Однако при цифровом представлении, таком как счеты, мне потребовались бы дополнительные стержни (заполнители или цифры) для представления π с большей степенью точности.

Счеты с 10 стержнями просто не могут представлять число π, превышающее 10 цифр, как бы я ни ставил бусины. Чтобы идеально представить π, на счетах должно быть бесконечное количество бусинок и стержней! Компромисс, конечно же, заключается в практическом ограничении настройки и чтения аналоговых символов.

На практике невозможно прочитать шкалу логарифмической линейки с точностью до 10 разряда, потому что отметки на шкале слишком грубые, а человеческое зрение слишком ограничено. С другой стороны, счет может быть установлен и прочитан без каких-либо ошибок интерпретации.

Кроме того, аналоговые символы требуют определенного стандарта, по которому их можно сравнивать для точной интерпретации. На линейках слайдов нанесена маркировка по длине слайдов для перевода длины в стандартные величины.

Даже на диаграмме термометра по высоте написаны цифры, чтобы показать, сколько денег (в долларах) представляет красный столбец для любой заданной высоты. Представьте, если бы мы все пытались передать друг другу простые числа, расставляя руки на разном расстоянии.

Число 1 можно обозначить, если мы держим руки на расстоянии 1 дюйма, число 2 - 2 дюйма и так далее. Если бы кто-то держал руки на расстоянии 17 дюймов друг от друга, чтобы обозначить число 17, смогли бы все вокруг немедленно и точно интерпретировать это расстояние как 17? Наверное, нет.

Некоторые угадывают короткие (15 или 16), а некоторые - длинные (18 или 19). Конечно, рыбаки, которые хвастаются своими уловами, не против завышенной оценки количества!

Возможно, именно поэтому люди обычно выбирают цифровые символы для представления чисел, особенно целые числа и целые числа, которые находят наибольшее применение в повседневной жизни.

Используя пальцы на руках, у нас есть готовые средства обозначения целых чисел от 0 до 10. Мы можем довольно легко сделать отметки решетки на бумаге, дереве или камне для обозначения тех же величин:

Однако для больших чисел система счисления «решетки» слишком неэффективна.