Что такое преобразование Фурье?

Эта статья дает вам важную информацию о математическом методе, который играет фундаментальную роль в проектировании системы и обработке сигналов.

Названное в честь французского математика Жозефа Фурье, преобразование Фурье представляет собой математическую процедуру, которая позволяет нам определять частотное содержание функции. Инженеры-электрики обычно применяют преобразование Фурье к функциям времени, которые мы называем сигналами . .

Синусоидальное разложение

График зависимости напряжения или тока от времени, который мы видим на экране осциллографа, представляет собой интуитивно понятное представление поведения сигнала. Однако это не единственное полезное представление.

Во многих случаях - например, при проектировании радиочастотных систем - нас в первую очередь интересует периодическое поведение сигналов. В частности, мы заинтересованы в понимании сигнала относительно синусоидальной периодичность, потому что синусоиды - это уникальное математическое выражение «чистой» частоты.

Преобразование Фурье выявляет элементарную периодичность сигнала посредством разложения сигнал на составляющие его синусоидальные частоты и определение величин и фаз этих составляющих частот.

Слово «разложение» здесь имеет решающее значение. Преобразование Фурье учит нас думать о сигнале во временной области как о форме волны, которая состоит из лежащие в основе синусоидальные сигналы с различными величинами и фазами.

Например, прямоугольная волна может быть разложена на бесконечный ряд синусоид с постоянно уменьшающимися амплитудами и постоянно увеличивающимися частотами. Точный ряд для прямоугольной волны, связанной по переменному току с периодом T и амплитудой A, можно записать следующим образом:

\ [f_ {square} (t) =\ frac {4A} {\ pi} \ sum_ {k \ in {\ {1,3,5, ... \ }}} \ frac {1} {k} \ sin \ left (\ frac {2 \ pi kt} {T} \ right) \]

Мы можем преобразовать это в следующую форму, которая немного более интуитивно понятна:

\ [f_ {square} (t) =\ frac {4A} {\ pi} \ left (\ sin (2 \ pi ft) + \ frac {1} {3 } \ sin (6 \ pi ft) + \ frac {1} {5} \ sin (10 \ pi ft) + \ ... \ right) \]

где f - частота прямоугольной волны в герцах.

На следующем графике синим цветом показана исходная прямоугольная волна и первые восемь синусоид в бесконечном ряду.

Посмотрев на этот график, вы все еще можете немного скептически относиться к тому, что эти синусоиды можно объединить в прямоугольную волну. А вот следующий сюжет вас убедит. Он показывает исходную прямоугольную волну и форму волны, полученную в результате добавления все составляющие синусоиды, показанные выше.

Функции времени и частоты

Когда мы вычисляем преобразование Фурье, мы начинаем с функции времени f (t), а с помощью математического разложения получаем функцию частоты F (ω). (Обычно при теоретических обсуждениях преобразования Фурье мы используем угловую частоту.)

Оценка F (ω) на некоторой определенной угловой частоте, скажем 100 рад / с, дает нам величину и фазу синусоидальной составляющей f (t), которая имеет частоту 100 рад / с. Если f (t) не имеет синусоидальной составляющей при 100 рад / с, величина будет равна нулю.

Вам может быть интересно, как одна функция, F (ω), может сообщать как величину, так и фазу. Преобразование Фурье дает комплексное значение функция, означающая, что само преобразование не является ни величиной частотных составляющих в f (t), ни фазой этих составляющих. Как и в случае любого комплексного числа, мы должны выполнить дополнительные вычисления, чтобы извлечь величину или фазу.

Концепция комплексного преобразования становится более интуитивной, когда мы работаем с дискретным Преобразование Фурье, а не «стандартное» преобразование, в котором мы начинаем с символической функции времени и заканчиваем символической функцией частоты.

Дискретное преобразование Фурье работает с последовательностью числовых значений и производит последовательность коэффициентов Фурье . . Эти коэффициенты являются типичными комплексными числами (т.е. они имеют форму a + jb), и мы обычно используем величину этих комплексных чисел, вычисляемую как √ (a ² + b ² ) при анализе частотного содержания сигнала.

Построение преобразования Фурье

Графики частотного содержания очень часто встречаются в таблицах данных, отчетах об испытаниях, учебниках и т. Д. Мы часто называем график зависимости амплитуды от частоты спектром - например, «давайте посмотрим на спектр сигнала» означает «давайте посмотрим на какое-то визуальное представление информации о величине в преобразовании Фурье. . »

На следующем графике показан спектр прямоугольной волны, связанной по переменному току, с амплитудой 1 и частотой 1 Гц.

Если вы сравните нанесенные на график амплитуды частотных «всплесков» с амплитудами соответствующих синусоидальных составляющих в бесконечном ряду, описанном выше, вы увидите, что они согласованы.

Расчет преобразования Фурье

Мы почти подошли к концу этой статьи, и я все еще не рассказал вам, как мы на самом деле генерируем преобразование Фурье математически определенного сигнала.

Честно говоря, я не вижу необходимости тщательно изучать математические детали во вводной статье:в настоящее время в частотном анализе преобладают удобные для пользователя программные методы, а инженеры не тратят много времени на преобразование символического времени - выражения домена в символьные выражения частотной области.

Тем не менее, имея дело с чем-то столь же важным, как преобразование Фурье, полезно, по крайней мере, иметь представление о лежащих в основе математических расчетах. Итак, без лишних слов, вот как мы конвертируем f (t) в F (ω):

\ [F (\ omega) =\ int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {f (t) {e ^ {- j \ omega t} } dt} \]

Заключение

Я надеюсь, что эта статья дала четкое, интуитивно понятное объяснение того, что такое преобразование Фурье и как оно дает нам дополнительное представление о природе сигнала.

Преобразование Фурье - это только начало обширного массива связанных тем; Если вы хотите узнать больше, ознакомьтесь со статьями, перечисленными ниже.

Дополнительная информация

• Введение в дискретное преобразование Фурье
• Введение в быстрое преобразование Фурье
• Как выполнить анализ в частотной области с помощью Scilab
• Учимся жить в частотной области
• Линейная фильтрация на основе дискретного преобразования Фурье