Серии R, L и C

Давайте рассмотрим следующую схему и проанализируем ее:

Пример схемы серии R, L и C.

Решение для реактивности

Первый шаг - определить реактивное сопротивление (в омах) катушки индуктивности и конденсатора.

Следующим шагом является выражение всех сопротивлений и реактивных сопротивлений в математически общей форме:импедансе. (Рисунок ниже)

Помните, что индуктивное реактивное сопротивление переводится в положительный воображаемый импеданс (или импеданс при + 90 °), а емкостное реактивное сопротивление переводится в отрицательное воображаемое сопротивление (импеданс при -90 °). Сопротивление, конечно, по-прежнему рассматривается как чисто «реальный» импеданс (полярный угол 0 °):

Пример схемы серии R, L и C с заменой значений компонентов на импедансы.

Сведение результатов в таблицу:

Теперь, когда все величины сопротивления электрическому току выражаются в общем формате комплексных чисел (как импедансы, а не как сопротивления или реактивные сопротивления), с ними можно обращаться так же, как с простыми сопротивлениями в цепи постоянного тока.

Это идеальное время, чтобы составить таблицу анализа для этой схемы и вставить все «заданные» цифры (общее напряжение и полное сопротивление резистора, катушки индуктивности и конденсатора).

Если не указано иное, исходное напряжение будет нашим опорным для фазового сдвига, поэтому оно будет записано под углом 0 °. Помните, что не существует такой вещи, как «абсолютный» угол фазового сдвига для напряжения или тока, поскольку это всегда величина относительно другой формы волны.

Однако фазовые углы для импеданса (как и у резистора, катушки индуктивности и конденсатора) известны абсолютно, потому что фазовые соотношения между напряжением и током на каждом компоненте абсолютно определены.

Обратите внимание, что я предполагаю идеально реактивные катушка индуктивности и конденсатор с фазовыми углами импеданса в точности +90 и -90 ° соответственно.

Хотя настоящие компоненты не могут быть идеальными в этом отношении, они должны быть довольно близки. Для простоты в расчетах в качестве примера я буду исходить из идеально реактивных катушек индуктивности и конденсаторов, если не указано иное.

Поскольку приведенный выше пример схемы является последовательной схемой, мы знаем, что полное сопротивление схемы равно сумме отдельных лиц, поэтому:

Вставив это значение общего импеданса в нашу таблицу:

Теперь мы можем применить закон Ома (I =E / R) по вертикали в столбце «Всего», чтобы найти общий ток для этой последовательной цепи:

Поскольку цепь является последовательной, ток должен быть одинаковым во всех компонентах. Таким образом, мы можем взять полученную цифру для общего тока и распределить ее по каждой из других колонок:

Теперь мы готовы применить закон Ома (E =IZ) к каждому из столбцов отдельных компонентов в таблице, чтобы определить падение напряжения:

Обратите внимание на нечто странное:хотя у нас напряжение питания составляет всего 120 вольт, напряжение на конденсаторе составляет 137,46 вольт! Как это может быть? Ответ заключается во взаимодействии между индуктивным и емкостным сопротивлениями.

Выражаясь в импедансах, мы можем видеть, что катушка индуктивности противодействует току точно так же, как конденсатор. Выраженный в прямоугольной форме, импеданс катушки индуктивности имеет положительный мнимый член, а конденсатор - отрицательный мнимый член.

Когда эти два противоположных импеданса складываются (последовательно), они имеют тенденцию уравновешивать друг друга! Хотя они все еще сложены чтобы получить сумму, эта сумма на самом деле меньше чем одно из отдельных (емкостных или индуктивных) импедансов.

Это аналогично сложению положительного и отрицательного (скалярного) числа:сумма меньше индивидуального абсолютного значения любого из них.

Если полное сопротивление в последовательной цепи с индуктивными и емкостными элементами меньше, чем полное сопротивление каждого элемента в отдельности, то общий ток в этой цепи должен быть больше . чем то, что было бы только с индуктивными или только емкостными элементами.

При таком аномально высоком токе через каждый из компонентов на некоторых отдельных компонентах могут быть получены напряжения, превышающие напряжение источника! Дальнейшие последствия противоположных реактивных сопротивлений катушек индуктивности и конденсаторов в одной цепи будут рассмотрены в следующей главе.

Как только вы освоите технику приведения всех значений компонентов к импедансам (Z), анализ любой цепи переменного тока будет примерно таким же трудным, как анализ любой цепи постоянного тока, за исключением того, что рассматриваемые величины являются векторными, а не скалярными.

За исключением уравнений, относящихся к мощности (P), уравнения в цепях переменного тока такие же, как и в цепях постоянного тока, с использованием импедансов (Z) вместо сопротивлений (R). Закон Ома (E =IZ) по-прежнему остается в силе, как и законы Кирхгофа по напряжению и току.

Чтобы продемонстрировать закон напряжения Кирхгофа в цепи переменного тока, мы можем взглянуть на ответы, которые мы получили для компонентных падений напряжения в последней цепи. KVL сообщает нам, что алгебраическая сумма падений напряжения на резисторе, катушке индуктивности и конденсаторе должна равняться приложенному напряжению от источника.

Несмотря на то, что на первый взгляд это может показаться неправдой, небольшое сложение комплексных чисел доказывает обратное:

За исключением небольшой ошибки округления, сумма этих падений напряжения действительно равна 120 вольт. Выполненный на калькуляторе (с сохранением всех цифр) ответ, который вы получите, должен быть точно 120 + j0 вольт.

Мы также можем использовать SPICE, чтобы проверить наши цифры для этой схемы:

Пример схемы SPICE серии R, L и C.

 r1 1 2 250 l1 2 3 650м c1 3 0 1.5u .ac lin 1 60 60 .print ac v (1,2) v (2,3) v (3,0) i (v1) .print ac vp (1,2) vp (2,3) vp (3,0) ip (v1) .конец частота v (1,2) v (2,3) v (3) i (v1) 6.000E + 01 1.943E + 01 1.905E + 01 1.375E + 02 7.773E-02 частота вп (1,2) вп (2,3) вп (3) ip (v1) 6.000E + 01 8.068E + 01 1.707E + 02 -9.320E + 00 -9.932E + 01 

Моделирование SPICE показывает, что наши вычисленные вручную результаты являются точными.

Как видите, существует небольшая разница между анализом цепи переменного тока и анализом цепи постоянного тока, за исключением того, что все величины напряжения, тока и сопротивления (на самом деле импеданс ) следует обрабатывать в комплексной, а не скалярной форме, чтобы учесть фазовый угол.

Это хорошо, поскольку означает, что все, что вы узнали об электрических цепях постоянного тока, применимо к тому, что вы здесь изучаете. Единственным исключением из этой последовательности является расчет мощности, который настолько уникален, что заслуживает главы, посвященной только этому предмету.

ОБЗОР:

• Любые импедансы добавляются последовательно:Z _Total =Z ₁ + Z ₂ +. . . Z _n
• Хотя импедансы складываются последовательно, общий импеданс для цепи, содержащей как индуктивность, так и емкость, может быть меньше одного или нескольких отдельных импедансов, потому что последовательные индуктивные и емкостные сопротивления имеют тенденцию компенсировать друг друга. Это может привести к падению напряжения на компонентах, превышающему напряжение питания!
• Все правила и законы цепей постоянного тока применимы к цепям переменного тока, если значения выражаются в сложной форме, а не в виде скаляра. Единственное исключение из этого принципа - расчет мощности , что сильно отличается от AC.

СВЯЗАННЫЙ РАБОЧИЙ ЛИСТ:

• Таблица последовательно-параллельных комбинированных цепей переменного тока