Научная нотация

Во многих областях науки и техники необходимо управлять очень большими и очень маленькими числовыми величинами. Некоторые из этих количеств ошеломляют своими размерами, либо чрезвычайно малы, либо чрезвычайно велики. Возьмем, к примеру, массу протона, одной из составляющих ядра атома:

Масса протона =0,00000000000000000000000167 граммов

Или рассмотрим количество электронов, проходящих через точку в цепи каждую секунду при постоянном электрическом токе 1 ампер:

1 ампер =6 250 000 000 000 000 000 электронов в секунду

Много нулей, не правда ли? Очевидно, обработка такого количества нулевых цифр в числах, как это, может вызвать затруднения даже с помощью калькуляторов и компьютеров.

Обратите внимание на эти два числа и на относительную редкость в них ненулевых цифр. Что касается массы протона, все, что у нас есть, это «167» с 23 нулями перед десятичной точкой. Для количества электронов в секунду в 1 ампер у нас есть «625» с 16 нулями.

Мы называем диапазон ненулевых цифр (от первого до последнего) плюс любые нулевые цифры не используются просто как заполнители, «значащие цифры» любого числа.

Значимые цифры в реальном измерении обычно отражают точность этого измерения. Например, если мы скажем, что автомобиль весит 3000 фунтов, мы, вероятно, не будем иметь в виду, что рассматриваемый автомобиль весит точно 3000 фунтов, но мы округлили его вес до значения, которое удобнее произносить и запоминать.

Округленное число 3000 имеет только одну значащую цифру:цифру «3» впереди - нули служат просто заполнителями. Однако, если бы мы сказали, что автомобиль весил 3005 фунтов, то тот факт, что вес не округлен до ближайшей тысячи фунтов, говорит нам, что два нуля в середине не просто заполнители, а все четыре цифры числа «3 005» значимы для его репрезентативной точности. Таким образом, число «3 005» состоит из четырех значащие цифры.

Точно так же числа с большим количеством нулевых цифр не обязательно представляют реальную величину вплоть до десятичной точки. Когда это известно, такое число может быть записано в виде математической «стенографии», чтобы с ним было легче работать. Это сокращение называется научным обозначением . .

В экспоненциальном представлении число записывается, представляя его значащие цифры в виде числа от 1 до 10 (или от -1 до -10, для отрицательных чисел), а нули-заполнители учитываются с помощью множителя степени десяти. . Например:

1 ампер =6 250 000 000 000 000 000 электронов в секунду

. . . можно выразить как. . .

1 ампер =6,25 x 10 ¹⁸ электронов в секунду

10 в 18 степени (10 ¹⁸ ) означает 10, умноженную на себя 18 раз, или «1» с 18 нулями. Умноженное на 6,25, получится «625» с 16 нулями (возьмите 6,25 и пропустите десятичную точку на 18 разрядов вправо). Преимущества научного обозначения очевидны:число не так громоздко, когда написано на бумаге, а значащие цифры легко идентифицировать.

Но как насчет очень малых чисел, таких как масса протона в граммах? Мы по-прежнему можем использовать научную нотацию, за исключением отрицательной степени десяти вместо положительной, для смещения десятичной точки влево, а не вправо:

Масса протона =0,00000000000000000000000167 граммов

. . . можно выразить как. . .

Масса протона =1,67 x 10 ^-24 граммы

10 в -24 степени (10 ^-24 ) означает обратное (1 / x) 10, умноженное на себя 24 раза, или «1», перед которой стоит десятичная точка и 23 нуля. Если умножить на 1,67, получится «167», перед которым стоит десятичная точка и 23 нуля. Как и в случае с очень большим числом, человеку намного проще иметь дело с этой «сокращенной» записью. Как и в предыдущем случае, значащие цифры в этом количестве четко выражены.

Поскольку значащие цифры представлены «сами по себе», в отличие от множителя степени десяти, легко показать уровень точности, даже если число выглядит круглым. Взяв наш пример с автомобилем весом 3000 фунтов, мы могли бы выразить округленное число 3000 в научных обозначениях как таковое:

вес машины =3 x 10 ³ фунты

Если бы автомобиль на самом деле весил 3005 фунтов (с точностью до фунта), и мы хотели бы иметь возможность выразить эту полную точность измерения, цифру в научных обозначениях можно было бы записать следующим образом:

вес машины =3,005 x 10 ³ фунты

Однако что, если машина действительно весит 3000 фунтов (с точностью до фунта)? Если бы мы записали его вес в «нормальной» форме (3000 фунтов), не обязательно было бы ясно, что это число действительно было с точностью до ближайшего фунта, а не просто округлено до ближайшей тысячи фунтов или до ближайшей сотни фунтов. , или с точностью до десяти фунтов. С другой стороны, научная запись позволяет нам показать, что все четыре цифры значимы без каких-либо недоразумений:

вес машины =3.000 x 10 ³ фунты

Поскольку не было бы смысла добавлять дополнительные нули справа от десятичной точки (поскольку дополнительные нули-заполнители не нужны для научных обозначений), мы знаем, что эти нули должны иметь значение для точности цифры.

СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ТАБЛИЦЫ:

• Рабочий лист научных обозначений и метрических префиксов