Понимание бел и децибел: от коэффициента мощности к преобразованию напряжения

Бель используется для представления коэффициента усиления

В своем простейшем определении коэффициент усиления усилителя — это отношение выходной мощности к входной. Поскольку это отношение, оно безразмерно. Тем не менее, инженеры используют выделенную единицу — называемую белем (bel) — для выражения коэффициента в более читаемом формате.

Бель изначально был придуман для количественной оценки потерь сигнала в телефонных кабелях, а не коэффициента усиления в усилителях. Назван в честь Александра Грэма Белла, единица измеряла затухание мощности на стандартной длине кабеля. Сегодня она определяется как десятичный логарифм отношения мощностей:

Бель нелинеен

Поскольку бель логарифмичен, он ведет себя нелинейно. Следующая таблица иллюстрирует, как потери и усиления мощности переводятся между простыми отношениями и значениями в белях:

Переход от беля к децибелю

Бель — относительно большая единица, поэтому к нему был применен метрический префикс «деци», создав децибел (дБ). Децибел стал повсеместной единицей для выражения логарифмических коэффициентов и потерь. Ниже приведено сравнение между отношениями мощности и значениями в децибелах:

Логарифмические шкалы особенно полезны, потому что человеческое слух воспринимает громкость логарифмически: удвоение воспринимаемой громкости требует десятикратного увеличения физической звуковой мощности. Потеря 1 беля соответствует 50% потере воспринимаемой громкости, а прирост 1 беля удваивает воспринимаемую интенсивность.

Другие примеры логарифмических шкал: шкала Рихтера и химический pH

Шкала Рихтера

Шкала Рихтера для землетрясений — прямой аналог. Показание 6,0 в десять раз мощнее 5,0; 7,0 — в сто раз мощнее 5,0; а 4,0 — в десять раз слабее 5,0.

Химический pH

Аналогично, шкала pH логарифмична: каждая единица представляет десятикратную разницу в концентрации ионов водорода. Мощь логарифмических шкал лежит в представлении огромных диапазонов компактным набором чисел.

Использование беля для выражения системных коэффициентов и потерь

Когда несколько усилительных ступеней каскадируются, общий коэффициент мощности — произведение индивидуальных отношений:

Overall gain = (3)(5) = 15

Если коэффициент каждой ступени выражается в белях, общий системный коэффициент — просто сумма индивидуальных значений в белях:

В этом примере 0,477 Б + 0,699 Б = 1,176 Б, демонстрируя аддитивное свойство логарифмических единиц.

Коэффициенты в децибелах

Применение той же логики к децибелам дает:

4,77 дБ + 6,99 дБ = 11,76 дБ.

Математически сумма логарифмов соответствует произведению исходных чисел — принцип, эксплуатируемый логарифмическими линейками и все еще фундаментальным при работе с логарифмическими шкалами.

Преобразование децибел и безразмерного отношения

Для возврата от значения в децибелах или белях к простому отношению мощностей применяют антилогарифм (10 в степени экспоненты). Для децибел экспонента — значение в децибелах, деленное на 10:

Пример: Если вход 1 Вт дает выход 10 Вт, коэффициент мощности в дБ:

AP(dB) = 10*log10(PO / PI) = 10*log10(10 /1) = 10*1 = 10 дБ

Пример: Коэффициент мощности 20 дБ соответствует отношению 10^(20/10) = 100.

AP(dB) = 20 = 10*log10(AP_ratio)
20/10 = log10(AP_ratio)
10^(20/10) = 10^2 = 100 = AP_ratio

Преобразование коэффициента мощности в коэффициент напряжения/тока

Поскольку бель измеряет мощность, перевод коэффициента напряжения или тока в бели или децибелы требует преобразования этого коэффициента в эквивалентный коэффициент мощности. При постоянной нагрузке коэффициент напряжения или тока 2 дает коэффициент мощности 4 (2²); коэффициент 3 дает 9 (3²). Следовательно, при преобразовании внутри логарифма применяется показатель 2 к отношению:

Поскольку умножение на 2 внутри лога эквивалентно взятию логарифма от квадрата отношения, формула упрощается до:

Для восстановления безразмерного отношения напряжения или тока из значения в децибелах используют:

Хотя бель приспособлен для мощности, непер (непэр, символ Np) использует натуральный логарифм и напрямую выражает коэффициенты напряжения или тока. На практике непэр редко используется в американской инженерии; децибелы остаются стандартом.

Пример: Усилитель аудиолинии 600 Ом получает 10 мВ и выдает 1 В. Коэффициент мощности в дБ:

A(dB) = 20*log10(VO / VI) = 20*log10(1 /0.01) = 20*2 = 40 дБ

Пример: Для коэффициента усиления по напряжению 20 дБ при равных входном и выходном сопротивлениях 50 Ом, отношение напряжений равно 10^(20/20) = 10.

Краткий обзор децибела

• Коэффициенты и потери можно выражать как безразмерное отношение или в белях (Б) или децибелах (дБ). Децибел — одна десятая беля.
• Для преобразования отношения мощности в бели или децибелы используйте приведенные выше уравнения.
• При применении беля или децибела к отношениям напряжения или тока включайте фактор 2 в логарифм для учета квадратичной связи с мощностью.
• Положительное значение означает усиление; отрицательное — затухание. Ноль обозначает единичный коэффициент.
• Для многоступенчатых усилительных систем перемножайте индивидуальные отношения мощностей для получения общего отношения, но складывайте значения в белях или децибелах для нахождения общего логарифмического коэффициента.

СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ЛИСТЫ:

• Рабочий лист: Измерения в децибелах
• Рабочий лист: Элементарная теория усилителей