Введение в логическую алгебру

Математические правила основаны на определяющих пределах, которые мы устанавливаем для конкретных числовых величин.

Когда мы говорим, что 1 + 1 =2 или 3 + 4 =7, мы подразумеваем использование целых величин:тех же типов чисел, которые мы все научились считать в начальной школе.

То, что большинство людей считает самоочевидными правилами арифметики, действительными в любое время и для всех целей, на самом деле зависит от того, как мы определяем число.

Например, при вычислении величин в цепях переменного тока мы обнаруживаем, что «реальные» числовые величины, которые так хорошо служили нам при анализе цепей постоянного тока, неадекватны для задачи представления величин переменного тока.

Мы знаем, что напряжения увеличиваются при последовательном подключении, но мы также знаем, что можно подключить источник переменного тока 3 В последовательно с источником переменного тока 4 В и получить общее напряжение 5 В (3 + 4 =5). .

Означает ли это, что были нарушены незыблемые и самоочевидные правила арифметики?

Нет, это просто означает, что правила «реальных» чисел не применяются к видам величин, встречающихся в цепях переменного тока, где каждая переменная имеет как величину, так и фазу.

Следовательно, мы должны использовать другой вид числовой величины или объекта для цепей переменного тока ( сложный числа, а не реальные числа), и вместе с этой другой системой чисел приходит другой набор правил, рассказывающих нам, как они соотносятся друг с другом.

Такое выражение, как «3 + 4 =5» . - это чепуха в рамках и определения действительных чисел, но она прекрасно вписывается в рамки и определение комплексных чисел (представьте себе прямоугольный треугольник с противоположными и смежными сторонами 3 и 4, с гипотенузой 5).

Поскольку комплексные числа двумерны, они могут тригонометрически «складываться» друг с другом как одномерные действительные числа не могут.

Математические законы и «нечеткая логика»

В этом отношении логика во многом похожа на математику:так называемые «законы» логики зависят от того, как мы определяем суждение.

Греческий философ Аристотель основал систему логики, основанную всего на двух типах суждений:истинных и ложных.

Его бивалентное (двухрежимное) определение истины привело к четырем основополагающим законам логики: Закон идентичности (А - А); Закон непротиворечия (А не не А); Закон исключенного среднего (либо А, либо не А); и Закон рационального вывода .

Эти так называемые законы действуют в рамках логики, когда предложение ограничено одним из двух возможных значений, но могут не применяться в случаях, когда предложения могут иметь значения, отличные от «истинного» или «ложного».

Фактически, большая работа была сделана и продолжает выполняться над «многозначными» или нечеткими логика, где утверждения могут быть верными или ложными в ограниченной степени .

В такой системе логики «Законы», такие как Закон Исключенного Среднего, просто не применяются, потому что они основаны на предположении о двухвалентности.

Точно так же многие посылки, которые нарушают закон непротиворечивости в аристотелевской логике, имеют силу в «нечеткой» логике. Опять же, определяющие пределы пропозициональных ценностей определяют Законы, описывающие их функции и отношения.

Рождение булевой алгебры

Английский математик Джордж Буль (1815-1864) пытался придать символическую форму системе логики Аристотеля.

Буль написал трактат на эту тему в 1854 году под названием Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей , который кодифицировал несколько правил отношения между математическими величинами, ограниченными одним из двух возможных значений:истина или ложь, 1 или 0.

Его математическая система стала известна как булева алгебра.

Все арифметические операции, выполняемые с логическими величинами, имеют только один из двух возможных результатов: 1 или 0 . .

Не существует такого понятия, как « 2 »Или« -1 »Или« 1/2 »В булевом мире. Это мир, в котором все другие возможности недействительны по указу.

Как можно догадаться, это не та математика, которую вы хотите использовать при балансировке чековой книжки или вычислении тока через резистор.

Однако Клод Шеннон из Массачусетского технологического института понял, как булеву алгебру можно применить к включенным и выключенным схемам . , где все сигналы характеризуются как « высокие »(1) или« низкий ”(0).

Его диссертация 1938 года, озаглавленная Символический анализ цепей реле и переключения . , применили теоретические работы Буля так, как Буль никогда не мог себе представить, дав нам мощный математический инструмент для проектирования и анализа цифровых схем.

Булева алгебра против "нормальной алгебры"

В этой главе вы найдете много общего между булевой алгеброй и «нормальной» алгеброй, разновидностью алгебры, включающей так называемые действительные числа.

Просто имейте в виду, что система чисел, определяющая булеву алгебру, сильно ограничена с точки зрения области видимости и что для любой логической переменной может быть только одно из двух возможных значений:1 или 0.

Следовательно, «Законы» булевой алгебры часто отличаются от «Законов» алгебры действительных чисел, что делает возможными такие утверждения, как 1 + 1 =1, которые обычно считаются абсурдными.

Как только вы поймете, что все величины в булевой алгебре ограничены двумя возможностями - 1 и 0, а также общий философский принцип законов, зависящий от количественных определений, «бессмыслица» булевой алгебры исчезнет.

Булева алгебра против «нормальной алгебры»

В этой главе вы найдете много общего между булевой алгеброй и «нормальной» алгеброй, разновидностью алгебры, включающей так называемые действительные числа.

Просто имейте в виду, что система чисел, определяющая булеву алгебру, сильно ограничена с точки зрения области видимости и что для любой логической переменной может быть только одно из двух возможных значений:1 или 0.

Следовательно, «Законы» булевой алгебры часто отличаются от «Законов» алгебры действительных чисел, что делает возможными такие утверждения, как 1 + 1 =1, которые обычно считаются абсурдными.

Как только вы поймете, что все величины в булевой алгебре ограничены двумя возможностями - 1 и 0, а также общий философский принцип законов, зависящий от количественных определений, «бессмыслица» булевой алгебры исчезнет.

Логические числа и двоичные числа

Следует четко понимать, что логические числа - это не то же самое, что двоичные . числа.

В то время как логические числа представляют собой совершенно иную систему математики, нежели действительные числа, двоичные числа представляют собой не более чем альтернативную запись для действительных чисел.

Их часто путают, потому что как логическая математика, так и двоичная запись используют одни и те же два шифра:1 и 0.

Разница в том, что логические величины ограничиваются одним битом (либо 1, либо 0), тогда как двоичные числа могут состоять из множества битов, суммируемых в форме взвешенных по месту значений до значения любого конечного размера.

Двоичное число 10011 ₂ («Девятнадцать») не больше места в логическом мире, чем десятичное число 2 ₁₀ («Два») или восьмеричное число 32 ₈ («Двадцать шесть»).

СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ТАБЛИЦЫ:

• Рабочий лист булевой алгебры
• Рабочий лист базовой алгебры и построения графиков электрических цепей
• Рабочий лист двоичной математики