MATLAB — Интеграция
Интеграция имеет дело с двумя принципиально разными типами проблем.
-
В первом типе дана производная функции, и мы хотим найти функцию. Таким образом, мы фактически обращаем процесс дифференциации вспять. Этот обратный процесс известен как антидифференцирование, или поиск примитивной функции, или поиск неопределенного интеграла. .
-
Второй тип задач включает в себя сложение очень большого количества очень малых величин, а затем определение предела, когда размер величин приближается к нулю, а количество членов стремится к бесконечности. Этот процесс приводит к определению определенного интеграла .
Определенные интегралы используются для нахождения площади, объема, центра тяжести, момента инерции, работы силы и во многих других приложениях.
Поиск неопределенного интеграла с помощью MATLAB
По определению, если производная функции f(x) равна f'(x), то говорят, что неопределенный интеграл от f'(x) по x есть f(x). Например, поскольку производная (по x) от x 2 равно 2x, мы можем сказать, что неопределенный интеграл от 2x равен x 2 .
В символах —
f'(x 2 ) =2x , следовательно,
∫ 2xdx =х 2 .
Неопределенный интеграл не уникален, так как производная от x 2 + c для любого значения константы c также будет 2x.
Это выражается в символах как -
∫ 2xdx =х 2 + с .
Где c называется «произвольной константой».
MATLAB предоставляет int команда для вычисления интеграла выражения. Чтобы получить выражение для неопределенного интеграла функции, мы пишем -
int(f);
Например, из нашего предыдущего примера —
syms x int(2*x)
MATLAB выполняет приведенный выше оператор и возвращает следующий результат —
ans = x^2
Пример 1
В этом примере найдем интеграл некоторых часто используемых выражений. Создайте файл сценария и введите в него следующий код —
syms x n int(sym(x^n)) f = 'sin(n*t)' int(sym(f)) syms a t int(a*cos(pi*t)) int(a^x)
Когда вы запускаете файл, он отображает следующий результат —
ans = piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)]) f = sin(n*t) ans = -cos(n*t)/n ans = (a*sin(pi*t))/pi ans = a^x/log(a)
Пример 2
Создайте файл сценария и введите в него следующий код —
syms x n int(cos(x)) int(exp(x)) int(log(x)) int(x^-1) int(x^5*cos(5*x)) pretty(int(x^5*cos(5*x))) int(x^-5) int(sec(x)^2) pretty(int(1 - 10*x + 9 * x^2)) int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2) pretty(int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2))
Обратите внимание, что красиво функция возвращает выражение в более удобочитаемом формате.
Когда вы запускаете файл, он отображает следующий результат —
ans =
sin(x)
ans =
exp(x)
ans =
x*(log(x) - 1)
ans =
log(x)
ans =
(24*cos(5*x))/3125 + (24*x*sin(5*x))/625 - (12*x^2*cos(5*x))/125 + (x^4*cos(5*x))/5 - (4*x^3*sin(5*x))/25 + (x^5*sin(5*x))/5
2 4
24 cos(5 x) 24 x sin(5 x) 12 x cos(5 x) x cos(5 x)
----------- + ------------- - -------------- + ------------
3125 625 125 5
3 5
4 x sin(5 x) x sin(5 x)
------------- + -----------
25 5
ans =
-1/(4*x^4)
ans =
tan(x)
2
x (3 x - 5 x + 1)
ans =
- (7*x^6)/12 - (3*x^5)/5 + (5*x^4)/8 + x^3/2
6 5 4 3
7 x 3 x 5 x x
- ---- - ---- + ---- + --
12 5 8 2
Поиск определенного интеграла с помощью MATLAB
Определенный интеграл по определению есть предел суммы. Мы используем определенные интегралы для нахождения площадей, таких как площадь между кривой и осью x и площадь между двумя кривыми. Определенные интегралы можно использовать и в других ситуациях, когда требуемое количество может быть выражено как предел суммы.
целое Функцию можно использовать для определенного интегрирования, передав пределы, в которых вы хотите вычислить интеграл.
Для расчета
мы пишем,
int(x, a, b)
Например, для расчета стоимости 
пишем -
int(x, 4, 9)
MATLAB выполняет приведенный выше оператор и возвращает следующий результат —
ans = 65/2
Ниже приведен октавный эквивалент приведенного выше расчета —
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = x;
c = [1, 0];
integral = polyint(c);
a = polyval(integral, 9) - polyval(integral, 4);
display('Area: '), disp(double(a));
Octave выполняет код и возвращает следующий результат —
Area: 32.500
Альтернативное решение может быть дано с использованием функции quad (), предоставляемой Octave, следующим образом:—
pkg load symbolic
symbols
f = inline("x");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 4, 9);
display('Area: '), disp(double(a));
Octave выполняет код и возвращает следующий результат —
Area: 32.500
Пример 1
Вычислим площадь, заключенную между осью x и кривой y =x 3 −2x+5 и ординаты x =1 и x =2.
Требуемая площадь задается -
Создайте файл сценария и введите следующий код —
f = x^3 - 2*x +5;
a = int(f, 1, 2)
display('Area: '), disp(double(a));
Когда вы запускаете файл, он отображает следующий результат —
a = 23/4 Area: 5.7500
Ниже приведен октавный эквивалент приведенного выше расчета —
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = x^3 - 2*x +5;
c = [1, 0, -2, 5];
integral = polyint(c);
a = polyval(integral, 2) - polyval(integral, 1);
display('Area: '), disp(double(a));
Octave выполняет код и возвращает следующий результат —
Area: 5.7500
Альтернативное решение может быть дано с использованием функции quad (), предоставляемой Octave, следующим образом:—
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = inline("x^3 - 2*x +5");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 1, 2);
display('Area: '), disp(double(a));
Octave выполняет код и возвращает следующий результат —
Area: 5.7500
Пример 2
Найдите площадь под кривой:f(x) =x 2 cos(x) для −4 ≤ x ≤ 9.
Создайте файл сценария и напишите следующий код —
f = x^2*cos(x);
ezplot(f, [-4,9])
a = int(f, -4, 9)
disp('Area: '), disp(double(a));
Когда вы запускаете файл, MATLAB строит график —
Результат приведен ниже —
a = 8*cos(4) + 18*cos(9) + 14*sin(4) + 79*sin(9) Area: 0.3326
Ниже приведен октавный эквивалент приведенного выше расчета —
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = inline("x^2*cos(x)");
ezplot(f, [-4,9])
print -deps graph.eps
[a, ierror, nfneval] = quad(f, -4, 9);
display('Area: '), disp(double(a));
MATLAB